Question

平面直角坐標(biāo)系xOy中，第1象限存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，第Ⅳ象限存在垂直于坐標(biāo)平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子從y軸正半軸上的M點(diǎn)以速度v₀垂直于y軸射入電場(chǎng)，經(jīng)x軸上的N點(diǎn)與x軸正方向成60°角射入磁場(chǎng)，最后從y軸負(fù)半軸上的P點(diǎn)與y軸正方向成60⁰角射出磁場(chǎng)，如圖所示．不計(jì)粒子重力，求
（1）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑R；
（2）粒子從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的總時(shí)間t；
（3）勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小E．

Answer 1

分析：粒子在坐標(biāo)軸第一象限做類平拋運(yùn)動(dòng)，已知類平拋的初速度v₀，和離開電場(chǎng)時(shí)的速度方向與x軸方向成60°角，根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，根據(jù)初速度可以求出粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的初速度v，粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，已知速度v和磁感應(yīng)強(qiáng)度B，可得粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑R；
粒子的運(yùn)動(dòng)分為兩部分，一是在第一象限內(nèi)做類平拋運(yùn)動(dòng)，二是在第四象限內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，分段求出時(shí)間，相加可得總時(shí)間．在y軸方向上可以求得粒子的速度v，據(jù)v=at可以得出粒子的加速度a，由于是電場(chǎng)力產(chǎn)生加速度，故可以求出電場(chǎng)強(qiáng)度E．

解答：解：
（1）設(shè)粒子過N點(diǎn)時(shí)的速度為v，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的速度關(guān)系
v=

v0

cos60°

①
分別過N、P點(diǎn)作速度方向的垂線，相交于Q點(diǎn)，則Q是粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心，根據(jù)牛頓第二定律 qvB=

mv2

R

②
聯(lián)立①②解得軌道半徑 R=

2mv0

qB

③
（2）設(shè)粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁，有 ON=v₀t₁ ④
由幾何關(guān)系得 ON=Rsin30°+Rcos30°⑤
聯(lián)立③④⑤解得 t₁=

(1+ 3 )m

qB

⑥
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期 T=

2πm

qB

⑦
由幾何關(guān)系知∠NQP=150°，設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₂
t₂=

150°

360°

T⑧
聯(lián)立⑦⑧解得 t₂=

5πm

6qB

⑨
故粒子從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的總時(shí)間 t=t₁+t₂=（1+

3

+

5π

6

）

m

qB

⑩
（3）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)加速度為a，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t
由牛頓第二定律：qE=ma   （11）
設(shè)沿電場(chǎng)方向的分速度為v_y，
v_y=at（12）
粒子在電場(chǎng)中x軸方向做勻速運(yùn)動(dòng)，由圖根據(jù)粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡可以得出：
粒子在x軸方向的位移：Rsin30°+Rcos30°=v₀t  （13）
  又：v_y=v₀tan60°（14）
聯(lián)立（11）（12）（13）（14）可以解得E=

(3- 3 )v0B

2

    
答：（1）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為

2mv0

qB

（2）粒子從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的總時(shí)間為（1+

3

+

5π

6

）

m

qB

（3）勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小為

(3- 3 )v0B

2

點(diǎn)評(píng)：掌握平拋運(yùn)動(dòng)的處理方法并能運(yùn)用到類平拋運(yùn)動(dòng)中，粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，能正確的畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，并根據(jù)幾何關(guān)系確定各量之間的關(guān)系．