Question

6．圖中左邊有一對平行金屬板，兩板相距為d，電壓為u，兩板之間有勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₀，方向平行于板面并垂直于紙面朝里．圖中右邊有一邊長為a的正三角形區(qū)域EFG（ EF邊與金屬板垂直），在此區(qū)域內(nèi)及其邊界上也有勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面朝里，假設(shè)一系列質(zhì)量不同、電荷量均為q的正離子沿平行于金屬板面，垂直于磁場的方向射入金屬板之間，均沿同一方向射出金屬板之間的區(qū)域，并經(jīng)EF邊中點(diǎn)H射入磁場區(qū)域．（不計(jì)重力）
（1）已知這些離子中的離子甲恰到達(dá)磁場邊界EG后，從邊界EF穿出磁場，求離子甲的質(zhì)量．
（2）已知這些離子中的離子乙從EG邊上的I點(diǎn)（圖中未畫出）穿出磁場，且GI長為$\frac{3}{4}$a，求離子乙的質(zhì)量．
（3）若這些離子中的最輕離子的質(zhì)量等于離子甲質(zhì)量的一半，而離子乙的質(zhì)量是最大的，問磁場邊界上什么區(qū)域內(nèi)可能有離子到達(dá)．

Answer 1

分析 （1）粒子做勻速直線運(yùn)動，粒子處于受力平衡狀態(tài)，所以電場力和磁場力大小相等，進(jìn)入磁場后粒子做勻速圓周運(yùn)動；
（2）由于I點(diǎn)將EG邊按1比3等分，根據(jù)三角形的性質(zhì)說明此軌跡的弦與EG垂直，由此可以分析求得離子乙的質(zhì)量；
（3）根據(jù)半徑公式r=$\frac{mv}{qB}$離子的軌跡半徑與離子質(zhì)量成正比，所以質(zhì)量在甲和最輕離子之間的所有離子都垂直邊界EF穿出磁場，甲最遠(yuǎn)離H的距離．

解答 解：（1）粒子進(jìn)入正交的電磁場做勻速直線運(yùn)動，設(shè)粒子的速度為v，電場的場強(qiáng)為E₀，
根據(jù)平衡條件得：E₀q=B₀qv  ①
電場強(qiáng)度：E₀=$\frac{U}doog9av$   ②
由①②解得：v=$\frac{U}{{B}_{0}d}$  ③，
粒子甲垂直邊界EF進(jìn)入磁場，又垂直邊界EF穿出磁場，則軌跡圓心在EF上．粒子運(yùn)動中經(jīng)過EG，說明圓軌跡與EG相切，

在如圖 的三角形中半徑為R=acos30°tan15°④
tan15°=$\frac{1-cos30°}{sin30°}$=2-$\sqrt{3}$   ⑤
連立④⑤化簡得：R=（$\sqrt{3}$-$\frac{3}{2}$）a  ⑥
在磁場中粒子所需向心力由洛侖茲力提供，
根據(jù)牛頓第二定律得：qvB₀=m$\frac{{v}^{2}}{R}$  ⑦
連立③⑦化簡得：m=$\frac{qadB{B}_{0}（\sqrt{3}-\frac{3}{2}）}{U}$  ⑧
（2）由于I點(diǎn)將EG邊按1比3等分，根據(jù)三角形的性質(zhì)說明此軌跡的弦與EG垂直，

在如圖的三角形中，有：R=acos30°sin30°×$\frac{1}{2}$cos30°=$\frac{a}{4}$，⑨
同理可得：m=$\frac{qadB{B}_{0}}{4U}$  ⑩
（3）最輕離子的質(zhì)量是甲的一半，根據(jù)半徑公式：R=$\frac{mv}{qB}$離子的軌跡半徑與離子質(zhì)量成正比，
所以質(zhì)量在甲和最輕離子之間的所有離子都垂直邊界EF穿出磁場，甲最遠(yuǎn)離H的距離為：（2$\sqrt{3}$-3）a，
最輕離子最近離H的距離為（$\sqrt{3}$-$\frac{3}{2}$）a，
所以在離H的距離為（2$\sqrt{3}$-3）a到（$\sqrt{3}$-$\frac{3}{2}$）a，之間的E F邊界上有離子穿出磁場．
比甲質(zhì)量大的離子都從EG穿出磁場，其中甲運(yùn)動中經(jīng)過EG上的點(diǎn)最近，
質(zhì)量最大的乙穿出磁場的1位置是最遠(yuǎn)點(diǎn)，
所以在EG上穿出磁場的離子都在這兩點(diǎn)之間．
答：（1）離子甲的質(zhì)量為$\frac{qadB{B}_{0}（\sqrt{3}-\frac{3}{2}）}{U}$．
（2）離子乙的質(zhì)量為$\frac{qadB{B}_{0}}{4U}$．
（3）磁場邊界上有離子到達(dá)的區(qū)域?yàn)椋篍F邊上從O到I′點(diǎn)，EG邊上從K到L．

點(diǎn)評 本題考查帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動，要掌握住半徑公式、周期公式，畫出粒子的運(yùn)動軌跡后，幾何關(guān)系就比較明顯了．