Question

3．一根兩端開口、粗細(xì)均勻的長直玻璃管橫截面積為S=2×10^-3m²，豎直插入水面足夠?qū)拸V的水中，管中有一個質(zhì)量為m=0.4kg的密閉活塞，封閉一段長度為L₀=66cm的氣體，氣體溫度T₀=300K，如圖所示．開始時，活塞處于靜止?fàn)顟B(tài)，不計活塞與管壁間的摩擦．外界大氣壓強(qiáng)P₀=1.0×10⁵Pa，水的密度ρ=1.0×10³kg/m³．試問：
（1）開始時封閉氣體的壓強(qiáng)多大？
（2）現(xiàn)保持管內(nèi)封閉氣體溫度不變，用豎直向上的力F緩慢地拉動活塞．當(dāng)活塞上升到某一位置時停止移動，此時F=6.0N，則這時管內(nèi)外水面高度差為多少？管內(nèi)氣柱長度多大？
（3）再將活塞固定住，改變管內(nèi)氣體的溫度，使管內(nèi)外水面相平，此時氣體的溫度是多少？

Answer 1

分析 （1）對活塞進(jìn)行受力分析，運(yùn)用平衡知識解決問題．
（2）知道液體壓強(qiáng)的公式和應(yīng)用，根據(jù)玻意耳定律列式求解．
（3）根據(jù)氣體狀態(tài)方程和已知的變化量去計算其它的物理量．

解答 解：（1）當(dāng)活塞靜止時，
${p}_{1}^{\;}={p}_{0}^{\;}+\frac{mg}{S}$=$1.0×1{0}_{\;}^{5}{p}_{a}^{\;}+\frac{0.4×10}{2×1{0}_{\;}^{-3}}{p}_{a}^{\;}=1.02×1{0}_{\;}^{5}{p}_{a}^{\;}$
（2）當(dāng)F=6.0N時，有
根據(jù)活塞受力平衡有：${p}_{2}^{\;}={p}_{0}^{\;}+\frac{mg-F}{S}$=$1.0×1{0}_{\;}^{5}{p}_{a}^{\;}+\frac{0.4×10-6.0}{2×1{0}_{\;}^{-3}}{p}_{a}^{\;}=9.9×1{0}_{\;}^{4}{p}_{a}^{\;}$
${p}_{2}^{\;}={p}_{0}^{\;}-ρgh$
管內(nèi)外的液面的高度差
$h=\frac{{p}_{0}^{\;}-{p}_{2}^{\;}}{ρg}$=$\frac{1.0×1{0}_{\;}^{5}-9.9×1{0}_{\;}^{4}}{1.0×1{0}_{\;}^{3}×10}m=0.1m$
由玻意耳定律有：${p}_{1}^{\;}{L}_{1}^{\;}S={p}_{2}^{\;}{L}_{2}^{\;}S$
空氣柱長度${L}_{2}^{\;}=\frac{{p}_{1}^{\;}}{{p}_{2}^{\;}}{L}_{1}^{\;}$=$\frac{1.02×1{0}_{\;}^{5}}{9.9×1{0}_{\;}^{4}}×66cm=68cm$
（3）${p}_{3}^{\;}={p}_{0}^{\;}=1，0×1{0}_{\;}^{5}{p}_{a}^{\;}$     ${L}_{3}^{\;}=68cm+10cm=78cm$      ${T}_{2}^{\;}={T}_{1}^{\;}=300K$
由氣態(tài)方程：$\frac{{p}_{2}^{\;}{L}_{2}^{\;}S}{{T}_{2}^{\;}}=\frac{{p}_{3}^{\;}{L}_{3}^{\;}}{{T}_{3}^{\;}}$
氣體溫度為${T}_{3}^{\;}=\frac{{p}_{3}^{\;}{L}_{3}^{\;}}{{p}_{2}^{\;}{L}_{2}^{\;}}{T}_{1}^{\;}$=$\frac{1.0×1{0}_{\;}^{5}×78}{9.9×1{0}_{\;}^{4}×68}×300K=347.6K$
答：（1）開始時封閉氣體的壓強(qiáng)$1.02×1{0}_{\;}^{5}{p}_{a}^{\;}$
（2）現(xiàn)保持管內(nèi)封閉氣體溫度不變，用豎直向上的力F緩慢地拉動活塞．當(dāng)活塞上升到某一位置時停止移動，此時F=6.0N，則這時管內(nèi)外水面高度差為0.1m，管內(nèi)氣柱長度68cm
（3）再將活塞固定住，改變管內(nèi)氣體的溫度，使管內(nèi)外水面相平，此時氣體的溫度是347.6k

點評 能用靜力學(xué)觀點確解決問題．要注意研究過程中哪些量不變，哪些量變化．明確初末氣體的狀態(tài)參量，知道氣態(tài)方程的適用范圍．