Question

6．如圖所示，A為太陽(yáng)系中的天王星，它繞太陽(yáng)O運(yùn)行的軌道視為圓時(shí)，運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R₀，周期為T(mén)₀．長(zhǎng)期觀測(cè)發(fā)現(xiàn)，天王星實(shí)際運(yùn)動(dòng)的軌道與圓軌道總有一些偏離，且每隔t₀時(shí)間發(fā)生一次最大偏離，即軌道半徑出現(xiàn)一次最大．根據(jù)萬(wàn)有引力定律，天文學(xué)家預(yù)言形成這種現(xiàn)象的原因可能是天王星外側(cè)還存在著一顆未知的行星（假設(shè)其運(yùn)動(dòng)軌道與A在同一平面內(nèi)，且與A的繞行方向相同），它對(duì)天王星的萬(wàn)有引力引起天王星軌道的偏離，由此可推測(cè)未知行星的運(yùn)動(dòng)軌道半徑是（　　）

• A． 天王星的角速度較大即轉(zhuǎn)的快
• B． 未知的行星角速度較大即轉(zhuǎn)的快
• C． R₀$\sqrt{（\frac{{t}_{0}}{{t}_{0}-{T}_{0}}）^{3}}$
• D． R₀$\root{3}{（\frac{{t}_{0}}{{t}_{0}-{T}_{0}}）^{2}}$

Answer 1

分析 A行星實(shí)際運(yùn)動(dòng)的軌道與圓軌道總有一些偏離，且周期每隔t₀時(shí)間發(fā)生一次最大偏離，知每隔t₀時(shí)間兩行星相距最近，可以求出B的周期，再根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，得出軌道半徑．

解答 解：C、D、周期每隔t₀時(shí)間發(fā)生一次最大偏離，知每隔t₀時(shí)間A、未知行星相距最近，即每隔t₀時(shí)間A行星比未知行星多運(yùn)行一圈．有：
$\frac{2π}{{T}_{0}}$t₀-$\frac{2π}{{T}_{B}}$t₀=2π，
則有：T_B=$\frac{{{t}_{0}T}_{0}}{{{t}_{0}-T}_{0}}$，
根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，有：$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r，
解得：r=$\root{3}{\frac{G{MT}^{2}}{{4π}^{2}}}$，
所以$\frac{{r}_{B}}{{R}_{0}}$=$\root{3}{\frac{{T}_{B}^{2}}{{T}_{0}^{2}}}$
則r_B=R₀$\root{3}{{（\frac{{t}_{0}}{{{t}_{0}-T}_{0}}）}^{2}}$，故D正確，C錯(cuò)誤．
A、B、有以上的分析可知，未知行星的軌道半徑比較大，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，得：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}=m{ω}^{2}r$
得：$ω=\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$可知，半徑比較小的天王星的角速度較大即轉(zhuǎn)的快．故A正確，B錯(cuò)誤．
故選：AD．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道每隔t₀時(shí)間發(fā)生一次最大偏離，知每隔t₀時(shí)間A、B兩行星相距最近，而得出每隔t₀時(shí)間A行星比未知行星多運(yùn)行一圈．以及會(huì)利用萬(wàn)有引力提供向心力．