Question

16．有一個半徑為R的光滑半球固定在水平面上，在半球頂端A點無初速釋放一個質(zhì)量為m的可視為質(zhì)點的光滑小球，小球先沿半球下滑一段距離后到達B點恰好離開半球面．已知重力加速度為g，求：
（1）小球落地時速度的大小為多少？
（2）B點與球心的連線和豎直線的夾角θ多大？（可用反三角函數(shù)表示）并求出小球到達B點時的速度大小為多少？

Answer 1

分析 （1）小球運動過程中只有重力做功，機械能守恒，根據(jù)守恒定律列式求解落地速度；
（2）小球沿著光滑半球運動過程中，受重力和支持力，合力沿著半徑方向的分力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律和動能定理分別列式，恰好離開半球時，彈力為零．

解答 解：（1）小球從A點下落到達地面的過程中，由機械能守恒定律，有：
$mgR=\frac{1}{2}m{v^2}$
解得：
$v=\sqrt{2gR}$

（2）設(shè)小球下滑到B點，與豎直夾角為θ 時，剛好離開半球面，根據(jù)牛頓第二定律，有：
$mgcosθ-{N_B}=m\frac{{{v_B}^2}}{R}$
根據(jù)動能定理，有：
 $mgR（{1-cosθ}）=\frac{1}{2}m{v_B}^2$
當 N_B=0時，得：
$cosθ=\frac{2}{3}$（$θ=arccos\frac{2}{3}$）
 ${v_B}=\sqrt{gRcosθ}=\sqrt{\frac{2gR}{3}}$
答：（1）小球落地時速度的大小為$\sqrt{2gR}$；
（2）B點與球心的連線和豎直線的夾角θ為$arccos\frac{2}{3}$，小球到達B點時的速度大小為$\sqrt{\frac{2gR}{3}}$．

點評 本題關(guān)鍵是明確小球的受力情況和運動情況，關(guān)鍵是找到向心力來源，結(jié)合機械能守恒定律、動能定理和牛頓第二定律列式求解，不難．