Question

14．一放在光滑水平面上的平板車，高為0.2m，質(zhì)量為3m，平板車�？吭谝还饣�的四分之一圓弧軌道旁，平板車上表面剛好與圓弧軌道的最低點(diǎn)相切，一質(zhì)量為m的物塊從圓弧軌道上某點(diǎn)由靜止釋放，滑到圓弧軌道最低點(diǎn)時(shí)，對(duì)軌道的壓力為2mg，物塊滑上平板車后，再?gòu)钠桨遘嚨挠叶嘶�離落到地面上時(shí)，離平板車右端的距離為s=$\frac{2}{15}$m．已知物塊與平板車間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.2，圓弧軌道的半徑為R=0.4m，重力加速度為g=10m/s²，求：
（1）物塊在平板車上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間及平板車的長(zhǎng)度；
（2）若在右側(cè)足夠遠(yuǎn)處放置一障礙物，車與障礙物碰撞后能以與碰撞前大小相等的速度返回，改變物塊從圓弧軌道上下滑的高度，結(jié)果物塊滑上平板車、平板車與障礙物碰撞后返回，且物塊都不會(huì)從平板車上掉下，求物塊在平板車上兩次相對(duì)滑動(dòng)的時(shí)間之比．

Answer 1

分析 （1）物塊經(jīng)過(guò)圓弧軌道最低點(diǎn)時(shí)，由合力提供向心力，根據(jù)向心力公式求出物塊經(jīng)過(guò)圓弧軌道最低點(diǎn)時(shí)的速度．物塊在平板車上滑行時(shí)做勻減速運(yùn)動(dòng)，平板車做勻加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律求出兩者的加速度，根據(jù)速度時(shí)間公式可得到物塊滑離平板車時(shí)兩者速度之差．物塊離開平板車后做平拋運(yùn)動(dòng)，由高度求得時(shí)間，再由位移公式列式求物塊在平板車上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．物塊在平板車上滑行時(shí)，由功能關(guān)系求平板車的長(zhǎng)度．
（2）由于障礙物在右側(cè)足夠遠(yuǎn)，所以車與障礙物碰撞前物塊和車已達(dá)到共同速度．由速度關(guān)系及速度公式列式，即可求得物塊在平板車上兩次相對(duì)滑動(dòng)的時(shí)間之比．

解答 解：（1）物塊經(jīng)過(guò)圓弧軌道最低點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律得：
   N-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
據(jù)題  N=2mg
解得 v₁=$\sqrt{gR}$
設(shè)物塊從平板車上滑離時(shí)的速度為v₂，平板車的速度為v₃．物塊在平板車上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁．
由于物塊在平板車上做勻減速運(yùn)動(dòng)，則有  v₂=v₁-a₁t₁．
對(duì)平板車有 v₃=a₂t₁．
對(duì)物塊和平板車分別進(jìn)行受力分析，由牛頓第二定律得：
    a₁=$\frac{μmg}{m}$=μg=2m/s²．
    a₂=$\frac{μmg}{3m}$=$\frac{1}{3}$μg=$\frac{2}{3}$m/s²．
綜上可得 v₁-v₂=3v₃．
設(shè)物塊掉下平板車后運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₂，則有 （v₂-v₃）t₂=s
又 h=$\frac{1}{2}g{t}_{2}^{2}$
聯(lián)立解得 v₂=1m/s，v₃=$\frac{1}{3}$m/s
物塊在平板車上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 t₁=$\frac{{v}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}$s=0.5s
物塊在平板車上滑行時(shí)，由功能關(guān)系有
    μmgL=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-（$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$+$\frac{1}{2}×3m{v}_{3}^{2}$）
解得，平板車的長(zhǎng)度 L=$\frac{2}{3}$m
（2）由于障礙物在右側(cè)足夠遠(yuǎn)處，因此車和障礙物相碰前物塊與車已達(dá)共同速度．
設(shè)物塊從滑上平板車到第一次與平板車有共同速度所用時(shí)間為${t}_{1}^{′}$，則
    第一次達(dá)到的共同速度為 ${v}_{1}^{′}$=a₂${t}_{1}^{′}$
與障礙物碰撞后，再次達(dá)到共同速度，則有  為 ${v}_{1}^{′}$-a₂t₂′=-（${v}_{1}^{′}$-a₁t₂′）
得物塊在平板車上兩次相對(duì)滑動(dòng)的時(shí)間之比 $\frac{{t}_{1}^{′}}{{t}_{2}^{′}}$=$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}}{2{a}_{2}}$=2
答：
（1）物塊在平板車上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是0.5s，平板車的長(zhǎng)度是$\frac{2}{3}$m．
（2）物塊在平板車上兩次相對(duì)滑動(dòng)的時(shí)間之比是2：1．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是要分析物塊與平板車的運(yùn)動(dòng)情況，抓住兩者相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度關(guān)系、位移關(guān)系和時(shí)間關(guān)系是解題的關(guān)鍵．要知道平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是由高度決定的．