Question

如圖所示，一細(xì)“W”形軌道固定在豎直平面內(nèi)，AB段和DE段與水平面的夾角均為α=53°，長均為10m，動(dòng)摩擦因素均為μ₁=0.5；BC段和CD段與水平面的夾角均為β=37°，長均為8m，BC段動(dòng)摩擦因素為μ₂=0.8，CD段光滑，軌道轉(zhuǎn)角B、C、D處都用光滑小圓弧連接．在A處的一質(zhì)量為m=1kg小環(huán)以某初速v₀沿AB開始向下運(yùn)動(dòng)，小環(huán)恰能到達(dá)E點(diǎn)，設(shè)小環(huán)過BCD處時(shí)的速度大小不變．
求：（1）小環(huán)剛開始從A下滑時(shí)的加速度大小；
（2）小環(huán)最終停在哪里？
（3）小環(huán)的初速v₀的大�。�

Answer 1

分析：（1）根據(jù)牛頓第二定律求出小環(huán)剛開始下滑時(shí)的加速度．
（2）根據(jù)小環(huán)在E點(diǎn)的速度為零，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出返回到達(dá)C點(diǎn)的速度，通過在CB段重力沿斜面方向的分力小于摩擦力，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式確定靜止的位置．
（3）根據(jù)到達(dá)E點(diǎn)的速度為零，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出小環(huán)的初速度．

解答：解：（1）剛從A下滑時(shí)，小環(huán)的受力如下：
F_N=mgcosα
根據(jù)牛頓第二定律得：
mgsinα-μ₁F_N=ma
解得：a=5m/s²
（2）從E滑到D的過程，根據(jù)牛頓第二定律得：
a5=gsin53°-μ1cos53°=5m/s2
滑到D點(diǎn)的速度為v′D=

2a5xDE

解得：v′_D=10m/s．
從D到C的運(yùn)動(dòng)過程中，加速度a6=-gsin37°=-6m/s2．
根據(jù)vC′2-vD′2=2a6xCD得，
代入數(shù)據(jù)解得v_C′=2m/s
C到B段的加速度a7=gsin37°-μ2gcos37°=-0.4m/s2．
根據(jù)0-vC′2=2a7X′得，
X′=5m＜8m．
即小球靜止在BC段上離C點(diǎn)5m處．
（3）根據(jù)牛頓第二定律得，D到E段的加速度a₄=-（gsin53°+μ₁gcos53°）=-11m/s²，
根據(jù)-vD2=2a4xDE．
解得vD2=220m2/s2．
C到D段的加速度a3=gsin37°=6m/s2．
根據(jù)vD2-vC2=2a3xCD得，
vC=2

31

m/s．
BC段的加速度a2=-(gsin37°+μ2gcos37°)=-12.4m/s2．
根據(jù)vC2-vB2=2a2xBC得
vB2=322.4m2/s2．
A到B段的加速度a1=5m/s2．
根據(jù)vB2-v02=2a1xAB得，
v0=2

278 5

m/s．
答：（1）小環(huán)剛開始從A下滑時(shí)的加速度大小為5m/s²；
（2）小環(huán)最終停在BC段上離C點(diǎn)5m處．
（3）小環(huán)的初速v₀的大小為v0=2

278 5

m/s．

點(diǎn)評：本題考查了牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式的綜合運(yùn)用，知道加速度是聯(lián)系力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)的橋梁．