Question

1．如圖所示，有一可繞豎直中心軸轉(zhuǎn)動的水平圓盤，原長為L、勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧一端固定于軸O上，另一端連接質(zhì)量為m的小物塊A．當(dāng)圓盤靜止時，把彈簧拉長后將物塊放在圓盤上，使物塊能保持靜止的彈簧的最大長度為L₀．已知最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相等，轉(zhuǎn)動過程中彈簧伸長始終在彈性限度內(nèi)，則：
（1）若開始時彈簧處于原長，當(dāng)圓盤的轉(zhuǎn)速為多大時，物塊A將開始滑動？
（2）若彈簧的長度為$\frac{3L}{2}$（$\frac{3L}{2}$＜L₀）時，物塊與圓盤能一起勻速轉(zhuǎn)動，試求轉(zhuǎn)動角速度的范圍．

Answer 1

分析 （1）物體A隨圓盤轉(zhuǎn)動的過程中，若圓盤轉(zhuǎn)速較小，由靜摩擦力提供向心力；當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)速較大時，彈力與摩擦力的合力提供向心力．物體A剛開始滑動時，彈簧的彈力為零，靜摩擦力達(dá)到最大值，由靜摩擦力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解角速度ω₀．
（2）若彈簧的長度為$\frac{3L}{2}$時，物塊與圓盤能一起勻速轉(zhuǎn)動，當(dāng)摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力且方向指向圓心時，角速度最大，根據(jù)牛頓第二定律列式求解．

解答 解：（1）根據(jù)題意可知，物塊與轉(zhuǎn)盤的最大靜摩擦力f=k（L₀-L）
設(shè)盤的角速度為ω₀時，物塊A將開始滑動，則
k（L₀-L）=mLω₀²時   
解得：ω₀=$\sqrt{\frac{k（{L}_{0}-L）}{mL}}$
（2）若彈簧的長度為$\frac{3L}{2}$時，物塊與圓盤能一起勻速轉(zhuǎn)動，當(dāng)摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力且方向指向圓心時，角速度最大，則有：
k（$\frac{3L}{2}-L$）+f=m$\frac{3L}{2}$${{ω}_{max}}^{2}$
解得：ω_max=$\sqrt{\frac{2k{L}_{0}-kL}{3mL}}$
則轉(zhuǎn)動角速度的范圍為$0≤ω≤\sqrt{\frac{2k{L}_{0}-kL}{3mL}}$
答：（1）若開始時彈簧處于原長，當(dāng)圓盤的轉(zhuǎn)速為$\sqrt{\frac{k（{L}_{0}-L）}{mL}}$時，物塊A將開始滑動；
（2）轉(zhuǎn)動角速度的范圍為$0≤ω≤\sqrt{\frac{2k{L}_{0}-kL}{3mL}}$．

點評 當(dāng)物體相對于接觸物體剛要滑動時，靜摩擦力達(dá)到最大，這是經(jīng)常用到的臨界條件．本題關(guān)鍵是分析物體的受力情況，知道向心力得來源，難度適中．