Question

如圖所示，由光滑細(xì)管組成的軌道固定在豎直平面內(nèi)，其中AB段和BC段是半徑為R的四分之一圓�。�一小球從距離水平地面高為H的管口D處?kù)o止釋放，最后能夠從A點(diǎn)水平拋出落到地面上．若R可以變化，求：
（1）R的最大值；
（2）小球從A點(diǎn)平拋落地時(shí)的水平位移x的最大值．

Answer 1

分析：（1）據(jù)題，為了使小球能夠從A點(diǎn)水平拋出，軌道對(duì)小球的壓力必須滿足N≥0．在A點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律得到N與速度的關(guān)系式．小球從D點(diǎn)靜止釋放運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)的過(guò)程中，軌道的彈力不做功，機(jī)械能守恒，列式得到小球到達(dá)A點(diǎn)的速度，聯(lián)立可求得R的范圍，即可求出R的最大值．
（2）小球從A點(diǎn)平拋，有x=v_At，2R=

1

2

gt2，結(jié)合上題中v_A的表達(dá)式，得到x與R的關(guān)系式，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解x的最大值．

解答：解：（1）為使小球能夠從A點(diǎn)平拋，需滿足：mg+N=

m v 2 A

R

且N≥0．
小球從D點(diǎn)靜止釋放運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)的過(guò)程中機(jī)械能守恒，故有：
mgH=mg?2R+

1

2

m

v

2 A

聯(lián)立解得：R≤

2

5

H，所以R的最大值為

2

5

H．
（2）小球從A點(diǎn)平拋，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律有：
 水平方向上：x=v_At
 豎直方向上：2R=

1

2

gt2
聯(lián)立解得：x=

8R(H-2R)

顯然，當(dāng)R=

H

4

時(shí)，小球從A點(diǎn)平拋的水平位移有最大值 x_max=H．
答：（1）R的最大值是

2

5

H；
（2）小球從A點(diǎn)平拋落地時(shí)的水平位移x的最大值是H．

點(diǎn)評(píng)：本題除了運(yùn)用牛頓第二定律、平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和機(jī)械能守恒之外，關(guān)鍵根據(jù)這些規(guī)律得到x的表達(dá)式，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求極值，是常用的函數(shù)法，要學(xué)會(huì)運(yùn)用．