Question

如圖所示,ABC為光滑軌道,其中AB段水平放置,BC段是半徑為R的圓弧,AB與BC相切于B點(diǎn).A處有一豎直墻面,一輕彈簧的一端固定于墻上,另一端與一質(zhì)量為M的物塊相連接,當(dāng)彈簧處于原長(zhǎng)狀態(tài)時(shí),物塊恰能與固定在墻上的L形擋板接觸于B處但無(wú)擠壓.現(xiàn)使一質(zhì)量為m的小球從圓弧軌道上距水平軌道高h(yuǎn)處的D點(diǎn)由靜止開(kāi)始下滑.小球與物塊相碰后立即共速但不粘連,物塊與L形擋板相碰后速度立即減為零也不粘連.(整個(gè)過(guò)程中,彈簧沒(méi)有超過(guò)彈性限度.不計(jì)空氣阻力,重力加速度為g)

(1)試求彈簧獲得的最大彈性勢(shì)能;
(2)求小球與物塊第一次碰后沿BC上升的最大高度;
(3)若R>>h,每次從小球接觸物塊至物塊撞擊L形擋板歷時(shí)均為Δt,則小球由D點(diǎn)出發(fā)經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間第三次通過(guò)B點(diǎn)?

Answer 1

(1)　(2)  (3)

解:(1)由小球運(yùn)動(dòng)至第一次碰前,據(jù)動(dòng)能定理有:
mgh=mv₀²/2         ①                                                 (1分)
對(duì)碰撞過(guò)程,據(jù)動(dòng)量守恒:
mv₀=(M+m)v₁                ②                                                  (1分)
碰后壓縮彈簧過(guò)程中,M、m及彈簧系統(tǒng)機(jī)械能守恒:
E_pm=(M+m)v₁²/2        ③                                                  (1分)
由①②③式聯(lián)立解得:
       ④                                                   (2分)
(2)第一次碰后小球向BC軌道運(yùn)動(dòng)的初速度即為v₁,由機(jī)械能守恒得:
        ⑤                                                   (1分)
由①②⑤式聯(lián)立解得:      ⑥                               (2分)
(3)小球在BC段運(yùn)動(dòng)可等效為單擺,其周期為:
          ⑦                                                 (1分)
分析得小球第三次通過(guò)B點(diǎn)歷時(shí)為:
         ⑧                                                 (2分)
由⑦⑧式聯(lián)立解得:      ⑨                               (2分)