Question

2．如圖所示，虛線圓表示磁場(chǎng)和電場(chǎng)的圓柱形理想邊界，其半徑為R，圓內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的平行于邊界向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，圓外存在垂直于邊界向外的輻向靜電場(chǎng)，現(xiàn)在邊界面上的A點(diǎn)有一帶電量大小為q、質(zhì)量為m的粒子，不計(jì)重力，以垂直于邊界指向圓心方向的初速度v射入磁場(chǎng)中．粒子離開(kāi)A點(diǎn)后第5次經(jīng)過(guò)邊界時(shí)正好過(guò)A點(diǎn)，在該過(guò)程中，求：
（1）粒子離開(kāi)A點(diǎn)時(shí)的初速度大小．
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）從A點(diǎn)射出的粒子做圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律可求出軌跡半徑R與速度的關(guān)系式．要使粒子能返回到A點(diǎn)，應(yīng)該有兩次進(jìn)入電場(chǎng)的情況，正確畫(huà)出運(yùn)動(dòng)的軌跡，找出相應(yīng)的幾何關(guān)系，聯(lián)立解得，速度v應(yīng)滿(mǎn)足的條件
（2）在磁場(chǎng)中粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T=$\frac{2πm}{qB}$，與粒子速度無(wú)關(guān)，結(jié)合粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，得出粒子偏轉(zhuǎn)的角度，由$\frac{t}{T}=\frac{θ}{2π}$．即可求出時(shí)間．

解答 解：（1）由題意，畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖，由題意知，∠AOC=120°，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為：
$r=\sqrt{3}R$
由：$qvB=\frac{m{v}^{2}}{r}$
得：$v=\frac{qBr}{m}=\frac{\sqrt{3}qBR}{m}$
（2）在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為：$T=\frac{2πr}{v}=\frac{2πm}{qB}$
由圖可知，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，每一次的偏轉(zhuǎn)角都是60°，則運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是$\frac{1}{6}$T，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：
$t=3×\frac{1}{6}T=\frac{1}{2}T=\frac{πm}{qB}$
答：（1）粒子離開(kāi)A點(diǎn)時(shí)的初速度大小是$\frac{\sqrt{3}qBR}{m}$．（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間$\frac{πm}{qB}$．

點(diǎn)評(píng) 該題考查帶電粒子在組合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，其中粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)與電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)的組合具有一定的周期性，其中由粒子離開(kāi)A點(diǎn)后第5次經(jīng)過(guò)邊界時(shí)正好過(guò)A點(diǎn)，判斷出粒子由兩次進(jìn)入電場(chǎng)是解題的關(guān)鍵．