Question

12．如圖所示，水平桌面左端有一頂端高為h的光滑圓弧形軌道，圓弧的底端與桌面在同一水平面上．桌面右側(cè)有一豎直放置的光滑掘弧軌道MNP，其形狀為半徑R=0.8m的圓環(huán)剪去了左上角135°的，MN為其豎直直徑．P點(diǎn)到桌面的豎直距離也為-質(zhì)量m=0.4kg的物塊A自圓弧形軌道的頂端釋放，到達(dá)圓弧軌道底端恰與一停在圓弧底端水平桌面上質(zhì)量也為m的物塊B發(fā)生彈性正碰（碰撞過(guò)沒(méi)有機(jī)械能的損失），碰后物塊B的位移隨時(shí)間變化的關(guān)系式為x=6t-2t²（關(guān)系式中所有物理量均為標(biāo)準(zhǔn)單位），物塊B飛離桌面后恰由P點(diǎn)沿切線落入圓軌道．（重力加速度g取10m/s²）
（1）求BP間的水平距離X_總
（2）判斷物塊B能否沿圓軌道到達(dá)M點(diǎn)
（3）求物塊A由靜止釋放的高度h．

Answer 1

分析 （1）對(duì)平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)分運(yùn)動(dòng)公式列式求解初速度和水平位移；對(duì)勻減速過(guò)程，根據(jù)關(guān)系式x=6t-2t²得到初速度為6m/s，加速度為-4m/s²；根據(jù)速度位移公式列式求解；
（2）先加速能夠沿圓軌道到達(dá)M點(diǎn)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求解末速度，根據(jù)牛頓第二定律求解彈力進(jìn)行判斷；
（3）質(zhì)量相等的物體的彈性碰撞速度是互換的，根據(jù)機(jī)械能守恒定律列式求解物塊A由靜止釋放的高度h．

解答 解：（1）設(shè)碰撞后物塊B由D點(diǎn)以初速度v₀平拋，落到P點(diǎn)時(shí)的豎直速度為：
${v}_{y}=\sqrt{2gR}$
同時(shí)：tan45°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{D}}$=1
解得：v_D=4m/s
對(duì)平拋運(yùn)動(dòng)，有：
R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
x=v₀t
解得：
x=1.6m
物塊B碰撞后以初速度v₀=6m/s減速到v_D，則BD間距：
x₁=$\frac{{v}_{D}^{2}-{v}_{B}^{2}}{2a}$=2.5m
故BP之間的水平距離為：
x_總=x+x₁=4.1m 
（2）若物塊B能夠沿著軌道到達(dá)M點(diǎn)，在M點(diǎn)時(shí)其速度為v_M，有：
$\frac{1}{2}m{v}_{M}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}mgR$ 
設(shè)軌道對(duì)物塊的壓力為F_N，則：
F_N+mg=m$\frac{{v}_{M}^{2}}{R}$
解得：
F_N=（1-$\sqrt{2}$）mg＜0，即物體不能到達(dá)M點(diǎn)；
（3）物塊AB是彈性碰撞且速度相等，碰撞后速度交換，故根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有：
$mgh=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$ 
解得：
$h=\frac{{v}_{B}^{2}}{2g}=\frac{{6}^{2}}{2×10}=1.8m$
答：（1）求BP間的水平距離為4.1m；
（2）物塊B不能沿圓軌道到達(dá)M點(diǎn)；
（3）求物塊A由靜止釋放的高度h為1.8m．

點(diǎn)評(píng) 該題是平拋運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)的綜合題，該題中要熟練掌握機(jī)械能守恒定律，能量守恒定律，以及圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題．