Question

11．如圖所示，水平面內(nèi)的等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，頂點(diǎn)C恰好位于光滑絕緣直軌道CD的最低點(diǎn)，光滑直導(dǎo)軌的上端點(diǎn)D到A、B兩點(diǎn)的距離均為L(zhǎng)，D在AB邊上的豎直投影點(diǎn)為O．一對(duì)電荷量均為-Q的點(diǎn)電荷分別固定于A、B兩點(diǎn)．在D處將質(zhì)量為m、電荷量為+q的小球套在軌道上（忽略它對(duì)原電場(chǎng)的影響），將小球由靜止開始釋放，已知靜電力常量為k、重力加速度為g，且k$\frac{Qq}{{L}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$mg，忽略空氣阻力，則（　�。�

• A． 軌道上D點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小為$\frac{mg}{2q}$
• B． 小球剛到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，其加速度為零
• C． 小球剛到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，其動(dòng)能為$\frac{\sqrt{3}}{2}$mgL
• D． 小球沿直軌道CD下滑過程中，其電勢(shì)能先增大后減小

Answer 1

分析 根據(jù)矢量合成的方法，結(jié)合庫侖定律即可求出D點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度；對(duì)C點(diǎn)的小球進(jìn)行受力分析，結(jié)合庫侖定律即可求出小球在C點(diǎn)的加速度；根據(jù)功能關(guān)系即可求出小球到達(dá)C的動(dòng)能；根據(jù)等量同種點(diǎn)電荷的電場(chǎng)的特點(diǎn)分析各點(diǎn)的電勢(shì)的變化，然后結(jié)合電勢(shì)與電勢(shì)能的關(guān)系分析小球的電勢(shì)能的變化．

解答 解：A、負(fù)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)指向負(fù)電荷，可知兩個(gè)負(fù)電荷在D處的電場(chǎng)強(qiáng)度分別指向A與B，由于兩個(gè)點(diǎn)電荷的電量是相等的，所以兩個(gè)點(diǎn)電荷在D點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小相等，則它們的合場(chǎng)強(qiáng)的方向沿DA、DB的角平分線；
由庫侖定律，A、B在D點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)的大�。�${E}_{A}={E}_{B}=\frac{kQ}{{L}^{2}}=\frac{\sqrt{3}mg}{3q}$
它們的合場(chǎng)強(qiáng)：E_D=E_Acos30°+E_Bcos30°=$\frac{mg}{q}$．故A錯(cuò)誤；
B、由幾何關(guān)系寬度：$\overline{AO}=\overline{CO}=\frac{\sqrt{3}}{2}L$，則：∠OCD=45°
對(duì)小球進(jìn)行受力分析，其受力的剖面圖如圖：
由于C到A、B的距離與D到A、B的距離都等于L，結(jié)合A的分析可知，C點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小與D點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小相等，方向指向O點(diǎn)，即：${E}_{C}={E}_{D}=\frac{mg}{q}$
沿斜面方向：mgcos45°-F•cos45°=ma
垂直于方向：mgsin45°+Fsin45°=N
其中F是庫侖力，F(xiàn)=$q•{E}_{C}=q•\frac{mg}{q}=mg$
聯(lián)立以上三式得：a=0．故B正確；
C、由于C與D到A、B的距離都等于L，結(jié)合等量同種點(diǎn)電荷的電場(chǎng)特點(diǎn)可知，C點(diǎn)與D點(diǎn)的電勢(shì)是相等的，所以小球從D到C的過程中電場(chǎng)力做功的和等于0，則只有重力做功，小球的機(jī)械能守恒，得：$mg•\overline{OD}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
由幾何關(guān)系可得：$\overline{OD}=L•sin60=\frac{\sqrt{3}L}{2}$
小球的動(dòng)能：${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{\sqrt{3}mgL}{2}$，故C正確；
D、由幾何關(guān)系可知，在CD的連線上，CD連線的中點(diǎn)處于到A、B的距離最小，電勢(shì)最低，小球帶正電，所以小球在CD的連線中點(diǎn)處的電勢(shì)能最小．則小球沿直軌道CD下滑過程中，其電勢(shì)能先減小后增大．故D錯(cuò)誤．
故選：BC

點(diǎn)評(píng) 此題的難度在于計(jì)算小球到最低點(diǎn)時(shí)的電場(chǎng)力的大小，注意AB處有等量同異種電荷，CD位于AB邊的中垂面上，難度適中．