Question

16．光滑水平面上固定一光滑水平軌道，水平軌道與$\frac{5}{8}$圓弧軌道平滑連接，圓弧半徑為R，P點(diǎn)為其連接點(diǎn)，如圖所示（俯視圖）．在P點(diǎn)靜止放有兩小球A、B，其質(zhì)量分別m₁、m₂（m₁、m₂大小未知），兩小球間夾有少量炸藥，點(diǎn)燃炸藥后，小球A進(jìn)人圓弧軌道運(yùn)動(dòng)，小球B在水平軌道運(yùn)動(dòng)，一段時(shí)間后，A、B球再次相遇．兩小球都可以看成質(zhì)點(diǎn)，炸藥的質(zhì)量忽略不計(jì)，爆炸的時(shí)間極短，爆炸后兩個(gè)小球的速度方向在同一水平直線上，（$\sqrt{2}$≈1.4，π=3.1，保留兩位有效數(shù)字）關(guān)于此過程．估算：
（1）A、B兩球相遇時(shí)運(yùn)動(dòng)速度大小的比值；
（2）爆炸后，A、B球獲得的機(jī)械能大小的比值：

Answer 1

分析 （1）明確二者運(yùn)動(dòng)的軌跡，然后由幾何關(guān)系找出軌跡的長(zhǎng)度關(guān)系，由速度位移的關(guān)系即可求出它們速度的關(guān)系；
（2）根據(jù)動(dòng)量守恒定律以及功能關(guān)系即可求出．

解答 解：（1）小球A開始時(shí)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，離開圓軌道后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖：

由幾何關(guān)系可知：$\overline{BP}=R•sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}R$≈0.7R；$\overline{PM}=R+R•cos45°=（1+\frac{\sqrt{2}}{2}）R≈1.7R$；$\overline{PN}=\overline{PM}=1.7R$；$\overline{MN}=\frac{\overline{PM}}{sin45°}=\frac{1.7R}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=2.43R$
小球A運(yùn)動(dòng)的軌跡的長(zhǎng)度：${s}_{A}=2πR×\frac{5}{8}+\overline{MN}$≈$2×3.1×R×\frac{5}{8}+2.43R≈6.3R$
小球B運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度：s_B=$\overline{BN}=\overline{BP}+\overline{PN}=0.7R+1.7R=2.4R$
由于二者分離后速度的大小都不變，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則：s_A=v_A•t，s_B=v_B•t
聯(lián)立可得：$\frac{{v}_{A}}{{v}_{B}}=\frac{{s}_{A}}{{s}_{B}}=\frac{63}{24}$
（2）在爆炸的過程中A與B沿水平方向的動(dòng)量守恒，選取A運(yùn)動(dòng)的方向?yàn)檎�方向，則：m_Av_A-m_Bv_B=0
所以：$\frac{{m}_{A}}{{m}_{B}}=\frac{{v}_{B}}{{v}_{A}}=\frac{24}{39}$
爆炸后，A、B球獲得的機(jī)械能大小等于它們的動(dòng)能的大小，所以爆炸后，A、B球獲得的機(jī)械能大小的比值：
$\frac{{E}_{A}}{{E}_{B}}=\frac{\frac{1}{2}{m}_{A}{v}_{A}^{2}}{\frac{1}{2}{m}_{B}{v}_{B}^{2}}=\frac{24}{63}×（\frac{63}{24}）^{2}=\frac{63}{24}$
答：（1）A、B兩球相遇時(shí)運(yùn)動(dòng)速度大小的比值是$\frac{63}{24}$；
（2）爆炸后，A、B球獲得的機(jī)械能大小的比值是$\frac{63}{24}$：

點(diǎn)評(píng) 該圖中小球始終在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以它們速度的比值就等于它們路程的比值，由此可知解答的關(guān)鍵就是能正確求出A運(yùn)動(dòng)的軌跡的長(zhǎng)度．