Question

6．如圖所示，“＜”型光滑長軌道固定在水平面內(nèi)，電阻不計．軌道中間存在垂直水平面向下的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B．一根質(zhì)量m、單位長度電阻R₀的金屬桿，與軌道成45°位置放置在軌道上，從靜止起在水平拉力作用下從軌道的左端O點出發(fā)，向右做加速度大小為a的勻加速直線運(yùn)動，經(jīng)過位移L．求：
（1）金屬桿前進(jìn)L過程中的平均感應(yīng)電動勢．
（2）已知金屬桿前進(jìn)L過程中水平拉力做功W．若改變水平拉力的大小，以4a大小的加速度重復(fù)上述前進(jìn)L的過程，水平拉力做功多少？
（3）若改用水平恒力F由靜止起從軌道的左端O點拉動金屬桿，到金屬桿速度達(dá)到最大值v_m時產(chǎn)生熱量．（F與v_m為已知量）
（4）試分析（3）問中，當(dāng)金屬桿速度達(dá)到最大后，是維持最大速度勻速直線運(yùn)動還是做減速運(yùn)動？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律即可得到平均感應(yīng)電動勢；
（2）根據(jù)安培力公式、歐姆定律和切割公式得到安培力的表達(dá)式，根據(jù)動能定理和運(yùn)動學(xué)公式分別列式后聯(lián)立求解；
（3）改用水平恒力F，導(dǎo)體棒做加速運(yùn)動，最后是勻速運(yùn)動，根據(jù)平衡條件、安培力公式、歐姆定律和切割公式列式后聯(lián)立求解得到最大速度，再根據(jù)動能定理列式求解即可．
（4）先假設(shè)做勻速運(yùn)動，然后依（3）的公式分析即可．

解答 解：（1）由位移-速度公式得：2aL=v²-0
所以前進(jìn)L的速度為：v=$\sqrt{2aL}$，
需時：t=$\frac{v}{a}=\frac{\sqrt{2aL}}{a}$
由法拉第電磁感應(yīng)定律有：$\overline{E}=\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{B△S}{△t}$=$\frac{B×\frac{1}{2}×2L×L}{\frac{\sqrt{2aL}}{a}}=B{L}^{2}•\sqrt{\frac{a}{2L}}$
（2）以加速度a前進(jìn)L時速度為v=$\sqrt{2aL}$
合外力做功：W+W_安=maL
所以：W_安=maL-W         
同理，以加速度4a前進(jìn)L時速度為：$v′=\sqrt{8aL}$=2v
合外力做功：W_F′+W_安′=4maL
由${F}_{A}=BIL=\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$可知，位移相同時F_A′=2F_A，
則前進(jìn)L時，W_安′=2W_安
所以：W_F′=4maL-2W_安=2W+2maL
（3）設(shè)金屬桿在水平恒力作用下前進(jìn)d時F_A=F，達(dá)到最大速度，由幾何關(guān)系可知，接入電路的桿的有效長度為2d，則：
${F}_{A}=BIl=\frac{{B}^{2}×（2d）^{2}{v}_{m}}{{R}_{0}×2d}=F$        
所以：d=$\frac{F{R}_{0}}{2{B}^{2}{v}_{m}}$   
由動能定理有：$Fd-Q=\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$
所以：Q=Fd-$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$=$\frac{{F}^{2}{R}_{0}}{2{B}^{2}{v}_{m}}-\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$
（4）根據(jù)安培力表達(dá)式，假設(shè)維持勻速，速度不變而位移增大，則加速度一定會為負(fù)值，與勻速運(yùn)動的假設(shè)矛盾．所以做減速運(yùn)動． 
答：（1）金屬桿前進(jìn)L過程中的平均感應(yīng)電動勢是$B{L}^{2}•\sqrt{\frac{a}{2L}}$．
（2）以4a大小的加速度重復(fù)上述前進(jìn)L的過程，水平拉力做功2W+2maL；
（3）若改用水平恒力F由靜止起從軌道的左端O點拉動金屬桿，到金屬桿速度達(dá)到最大值v_m時產(chǎn)生熱量是$\frac{{F}^{2}{R}_{0}}{2{B}^{2}{v}_{m}}-\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$．
（4）當(dāng)金屬桿速度達(dá)到最大后，將做減速運(yùn)動．

點評 本題關(guān)鍵是明確導(dǎo)體棒的受力情況與運(yùn)動情況，能夠結(jié)合動能定理、安培力公式、法拉第電磁感應(yīng)定律多次列式求解．