Question

12．滑板運(yùn)動是一種陸地上的“沖浪”運(yùn)動，滑板運(yùn)動員可在不同的滑坡上滑行，做出各種動作，給人以美的享受．如圖是模擬的滑板組合滑行軌道，該軌道由足夠長的斜直軌道、半徑R₁=1m的凹形圓弧軌道和半徑R₂=1.6m的凸形圓弧軌道組成，這三部分軌道處于同一豎直平面內(nèi)且依次平滑連接，其中M點(diǎn)為凹形圓弧軌道的最低點(diǎn)，N點(diǎn)為凸形圓弧軌道的最高點(diǎn)，凸形圓弧軌道的圓心0點(diǎn)與M點(diǎn)處在同一水平面上．一質(zhì)量為m=1kg可看作質(zhì)點(diǎn)的滑板，從斜直軌道上的P點(diǎn)無初速滑下，經(jīng)過M點(diǎn)滑向N點(diǎn)，P點(diǎn)距M點(diǎn)所在水平面的高度h=1.8m不計一切阻力g取10m/s²．
（1）滑板滑到M點(diǎn)時的速度多大？
（2）滑板滑到M點(diǎn)時，滑板對軌道的壓力多大？
（3）改變滑板無初速下滑時距M點(diǎn)所在水平面的高度，用壓力傳感器測出滑板滑至N點(diǎn)時對軌道的壓力大小F，求當(dāng)F為零時滑板的下滑高度h₁．

Answer 1

分析 （1）滑板從P到M的過程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒，運(yùn)用機(jī)械能守恒定律列式求解；
（2）在M點(diǎn)，滑板由重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律和向心力公式列式求出支持力，再得到壓力；
（3）當(dāng)F為零時，在N點(diǎn)，由重力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律求出N點(diǎn)的速度，再由運(yùn)用機(jī)械能守恒定律求滑板的下滑高度h₁．

解答 解：（1）以地面為參考平面，對滑板從P到M過程，由機(jī)械能守恒定律得：
   mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{M}^{2}$
解得：v_M=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×1.8}$=6m/s
即滑板滑到M點(diǎn)時的速度為6m/s．
（2）滑板在M點(diǎn)時，由重力和支持力的合力提供向心力，由牛頓第二定律有
     F_N-mg=m$\frac{{v}_{M}^{2}}{{R}_{1}}$
解得  F_N=mg+m$\frac{{v}_{M}^{2}}{{R}_{1}}$=46N
由牛頓第三定律知，滑板滑到M點(diǎn)時，滑板對軌道的壓力 F_N′=F_N=46N
（3）在N點(diǎn)，當(dāng)F為零時，由重力提供向心力，由牛頓第二定律得：
    mg=m$\frac{{v}_{N}^{2}}{{R}_{2}}$
對從P到N過程，由機(jī)械能守恒定律，得：
    mg（h₁-R₂）=$\frac{1}{2}$mv_N²；
解得 h₁=2.4m
答：
（1）滑板滑到M點(diǎn)時的速度是6m/s．
（2）滑板滑到M點(diǎn)時，滑板對軌道的壓力是46N．
（3）當(dāng)F為零時滑板的下滑高度h₁是2.4m．

點(diǎn)評 本題的關(guān)鍵要明確圓周運(yùn)動向心力的來源：指向圓心的合力．對于軌道光滑的情況，要想到機(jī)械能守恒定律．