Question

10．兩塊足夠大的平行金屬極板水平放置，極板間加有空間分布均勻、大小隨時間周期性變化的電場和磁場，變化規(guī)律分別如圖1、2所示（規(guī)定垂直紙面向里為磁感應(yīng)強(qiáng)度的正方向）．在t=0時刻由負(fù)極板釋放一個初速度為零的帶負(fù)電的粒子（不計重力）．若電場強(qiáng)度E₀、磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀、粒子比荷$\frac{q}{m}$均已知，且t₀=$\frac{2πm}{qB}$，兩板間距h=$\frac{10{π}^{2}m{E}_{0}}{q{{B}_{0}}^{2}}$
（1）求粒子在0～t₀時間內(nèi)的位移大小與極板間距h的比值．
（2）求粒子在極板間做圓周運(yùn)動的最小半徑R₁與最大半徑R₂（用h表示）．
（3）若板間電場強(qiáng)度E隨時間的變化仍如圖1所示，磁場的變化改為如圖3所示，其中磁場方向在1.5t₀、3.5t₀、5.5t₀…周期性變化．試求出粒子在板間運(yùn)動的時間（用t₀表示）．

Answer 1

分析 根據(jù)電場和磁場的變化，來對粒子在各個時間段內(nèi)的受力分析是解決該題的關(guān)鍵，此題電場力和磁場力不是同時存在的，所以要分別對小球在電場力和磁場力作用下的運(yùn)動進(jìn)行分析，只在電場力作用時，粒子做加速直線運(yùn)動，在只有洛倫茲力作用時，粒子做勻速圓周運(yùn)動．
（1）在0～t₀時間，只有電場力，粒子做加速運(yùn)動，可運(yùn)用運(yùn)動學(xué)公式和牛頓第二定律進(jìn)行求解．
（2）經(jīng)過${t}_{0}^{\;}$時間加速，粒子速度較小，粒子做勻速圓周運(yùn)動的半徑最小，粒子做勻速圓周運(yùn)動一周，繼續(xù)做勻加速直線運(yùn)動，恰好又做了一個完整的圓周運(yùn)動，再勻加速直線運(yùn)動一段距離到達(dá)上極板，所以粒子第二次勻速圓周運(yùn)動的半徑最大，根據(jù)運(yùn)動學(xué)公式求出最小半徑和最大半徑
（3）畫出粒子的運(yùn)動軌跡，分別求出勻加速直線運(yùn)動的時間和勻速圓周運(yùn)動的時間，求出總時間

解答 解：（1）粒子在0～t₀時間內(nèi)：
${s}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}a{t}_{0}^{2}$
$a=\frac{q{E}_{0}^{\;}}{m}$ 
得：$\frac{{s}_{1}^{\;}}{h}=\frac{1}{5}$
（2）粒子在t₀～2t₀時間內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，
運(yùn)動速度${v}_{1}^{\;}=a{t}_{0}^{\;}=\frac{{E}_{0}^{\;}q{t}_{0}^{\;}}{m}$  
 且$q{v}_{1}^{\;}{B}_{0}^{\;}=m\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}^{\;}}$
所以${R}_{1}^{\;}=\frac{h}{5π}$
又$T=\frac{2π{R}_{1}^{\;}}{{v}_{1}^{\;}}={t}_{0}^{\;}$所以粒子在t₀～2t₀時間內(nèi)恰好完成一個完整的圓周運(yùn)動，
粒子在2t₀～3t₀時間內(nèi)做初速度為${v}_{1}^{\;}=a{t}_{0}^{\;}=\frac{{E}_{0}^{\;}q{t}_{0}^{\;}}{m}$的勻加速直線運(yùn)動
有：${s}_{2}^{\;}={v}_{1}^{\;}{t}_{0}^{\;}+\frac{1}{2}\frac{{E}_{0}^{\;}q}{m}{t}_{0}^{2}=\frac{3}{5}h$
${v}_{2}^{\;}={v}_{1}^{\;}+\frac{{E}_{0}^{\;}q}{m}{t}_{0}^{\;}=\frac{2{E}_{0}^{\;}q}{m}{t}_{0}^{\;}$ 
粒子在3t₀～4t₀時間內(nèi)，有$q{v}_{2}^{\;}{B}_{0}^{\;}=m\frac{{v}_{2}^{2}}{{R}_{2}^{\;}}$
得：${R}_{2}^{\;}=2{R}_{1}^{\;}=\frac{2h}{5π}$
由于${s}_{1}^{\;}+{s}_{2}^{\;}+{R}_{2}^{\;}=\frac{h}{5}+\frac{3h}{5}+\frac{2h}{5π}＜h$，所以粒子在3t₀～4t₀時間內(nèi)繼續(xù)做一個完整的勻速圓周運(yùn)動，在4t₀～5t₀時間內(nèi)做勻加速直線運(yùn)動出去
所以，粒子做圓運(yùn)動的最大半徑為${R}_{2}^{\;}=\frac{2h}{5π}$
粒子在板間運(yùn)動的軌跡圖如圖甲所示
（3）粒子在板間運(yùn)動的軌跡圖如圖乙所示
勻加速運(yùn)動有：$h=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$  
得${t}_{1}^{\;}=\sqrt{5}{t}_{0}^{\;}$
圓周運(yùn)動有：${t}_{2}^{\;}=2{t}_{0}^{\;}$
得總時間：$t=（\sqrt{5}+2）{t}_{0}^{\;}≈4.25{t}_{0}^{\;}$
答：（1）求粒子在0～t₀時間內(nèi)的位移大小與極板間距h的比值$\frac{1}{5}$．
（2）求粒子在極板間做圓周運(yùn)動的最小半徑${R}_{1}^{\;}$為$\frac{h}{5π}$與最大半徑${R}_{2}^{\;}$為$\frac{2h}{5π}$（用h表示）．
（3）粒子在板間運(yùn)動的時間$4.25{t}_{0}^{\;}$（用t₀表示）．

點評 帶點粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動本質(zhì)是力學(xué)問題
1、帶電粒子在電場、磁場和重力場等共存的復(fù)合場中的運(yùn)動，其受力情況和運(yùn)動圖景都比較復(fù)雜，但其本質(zhì)是力學(xué)問題，應(yīng)按力學(xué)的基本思路，運(yùn)用力學(xué)的基本規(guī)律研究和解決此類問題．
2、分析帶電粒子在復(fù)合場中的受力時，要注意各力的特點，如帶電粒子無論運(yùn)動與否，在重力場中所受重力及在勻強(qiáng)電場中所受的電場力均為恒力，而帶電粒子在磁場中只有運(yùn)動 （且速度不與磁場平行）時才會受到洛侖茲力，力的大小隨速度大小而變，方向始終與速度垂直，故洛侖茲力對運(yùn)動電荷只改變粒子運(yùn)動的方向，不改變大�。�