Question

7．如圖所示，半徑R=0.40m的光滑半圓環(huán)軌道處于豎直平面內(nèi)，半圓環(huán)與粗糙的水平地面相切于圓環(huán)的端點A．一質(zhì)量m=0.10kg的小球，以初速度v₀=7.0m/s在水平地面上向左作加速度a=3.0m/s²的勻減速直線運動，求：
（1）小球若從距A點4.0m的C點出發(fā)，落地點離A點多遠？
（2）要求小球能進入圓環(huán)軌道但不脫軌，小球在地面上的出發(fā)點離A點的距離應滿足什么條件？（取重力加速度g=10m/s²）．

Answer 1

分析 （1）要求AC之間的距離應該首先判定物體能否到達B點，故應該先求出物體到達B點的最小速度，然后根據(jù)動能定理求出物體實際到達B點時的速度，由于實際速度大于最小速度，故物體到達B后做平拋運動，最后根據(jù)平拋運動的規(guī)律求出物體在平拋過程當中水平向的位移．
（2）要使小球通過最高點，則在最高點由重力充當向心力可求得速度；再對全過程由動能定理可求得水平距離．

解答 解：（1）小球向左運動的過程中小球做勻減速直線運動，故有
v_A²-v₀²=-2as                 
解得v_A=$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}-2as}$=$\sqrt{49-2×3×4}$=5m/s
如果小球能夠到達B點，則在B點的最小速度v_min，
故有mg=$\frac{m{{v}_{min}}^{2}}{R}$
解得v_min=$\sqrt{gR}$=2m/s
而小球從A到B的過程中根據(jù)機械能守恒可得
mgh+$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$=$\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}$
解得v_B=3m/s
由于V_B＞v_min
故小球能夠到達B點，且從B點作平拋運動，
在豎直方向有
2R=$\frac{1}{2}g{t^2}$
在水平方向有
s_AC=v_Bt            
解得：s_AC=1.2m
故AC間的距離為1.2m．
（2）要使小球不脫離軌道，則在最高點應有：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：v²=gR=0.4×10=4；
則設水平面上位移為x；
則應有：
-max-2mgR=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv₀²
解得x=4.8m；
則要使物體能通過最高點，小球出發(fā)點距A點應小于4.8m；
答：（1）小球若從距A點4.0m的C點出發(fā)，落地點離A點1.2m
（2）要求小球能進入圓環(huán)軌道但不脫軌，小球在地面上的出發(fā)點離A點的距離小于等于4.8m．

點評 解決多過程問題首先要理清物理過程，然后根據(jù)物體受力情況確定物體運動過程中所遵循的物理規(guī)律進行求解，要注意明確恰好能到達半圓軌道的最高點是一種臨界狀態(tài)．