Question

11．為了確定某星球的密度與地球密度的關(guān)系，宇航員在該星球表面做了一些測試，若測得該星球的自轉(zhuǎn)周期為T，一探測器在該星球兩極處所受的重力為P，在該星球赤道處所受的重力為kP（k＜1），假設(shè)該星球和地球均是質(zhì)量分布均勻的球體，一衛(wèi)星在地球表面附近繞地球做圓周運(yùn)動的周期為nT（n＞1），則該星球密度與地球密度的比值為（　�。�

• A． $\frac{{n}^{2}}{1-k}$
• B． $\frac{{n}^{2}}{1+k}$
• C． $\frac{n}{1-k}$
• D． $\frac{n}{1+k}$

Answer 1

分析 探測器在星球兩極重力等于萬有引力，在赤道萬有引力和重力的合力提供向心力，根據(jù)這個關(guān)系列方程．

解答 解：設(shè)星球質(zhì)量為M，探測器質(zhì)量為m，星球半徑為R，星球密度為ρ
在兩極：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=P$…①
在赤道：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}-KP=m（\frac{2π}{T}）_{\;}^{2}R$…②
由①②得：（1-k）$G\frac{Mm}{{R}^{2}}$=$m（\frac{2π}{T}）_{\;}^{2}R$…③
又因為$M=ρ\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}$…④
④代入③得：（1-k）$G\frac{ρ\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}m}{{R}^{2}}=m（\frac{2π}{T}）_{\;}^{2}R$
化簡得：$ρ=\frac{3π}{（1-k）G{T}_{\;}^{2}}$…⑤

根據(jù)萬有引力提供向心力，衛(wèi)星質(zhì)量設(shè)m'，地球質(zhì)量M'，地球半徑R‘，設(shè)地球密度為ρ‘
$G\frac{M'm'}{R{'}_{\;}^{2}}=m'（\frac{2π}{nT}）_{\;}^{2}R'$…⑥
$M'=ρ'\frac{4}{3}πR{'}_{\;}^{3}$…⑦
聯(lián)立⑥⑦式得：$ρ’=\frac{3π}{G{n}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}$…⑧
$\frac{ρ}{ρ'}=\frac{{n}_{\;}^{2}}{1-k}$
故選：A

點評 本題綜合考查了萬有引力與圓周運(yùn)動，記住衛(wèi)星萬有引力等于向心力，還有黃金代換重力等于萬有引力等關(guān)系式，近地衛(wèi)星模型軌道半徑等于地球球半徑．