Question

12．如圖，粗糙水平面與光滑的、半徑為R=20cm的$\frac{1}{4}$圓弧軌道BC平滑相接，C點(diǎn)的切線沿豎直方向，在C點(diǎn)正上方有一離C點(diǎn)高度為h=12cm的旋轉(zhuǎn)平臺(tái)，沿平臺(tái)直徑方向開有兩個(gè)離軸心距離相等的小孔P、Q，旋轉(zhuǎn)時(shí)兩孔均能到達(dá)C點(diǎn)正上方．一勁度系數(shù)為k=100N/m的輕彈簧左端固定在豎直墻壁上，右端有一質(zhì)量為m=1kg的小物塊（不栓接）．開始時(shí)用手將小物塊按住處于A點(diǎn)，使彈簧處于壓縮狀態(tài)，壓縮量為40cm，AB間的距離L=70cm，放手后物塊被彈出．已知彈性勢(shì)能的計(jì)算式為E_p=$\frac{1}{2}$kx²，其中k為彈簧的勁度系數(shù)，x為彈簧的形變量．物塊與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.4，g取10m/s²．求：
（1）小物塊在此后運(yùn)動(dòng)過程中的最大動(dòng)能．
（2）小物塊上升到達(dá)旋轉(zhuǎn)平臺(tái)時(shí)的速度大小．
（3）若小物塊能通過P孔，又恰能從Q孔落下，則平臺(tái)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）滑塊從A運(yùn)動(dòng)到B的過程中，彈力先大于滑動(dòng)摩擦力，后小于滑動(dòng)摩擦力，先加速后減速，當(dāng)彈力等于摩擦力時(shí)速度最大，由此列式求出速度最大時(shí)彈簧的壓縮量．再由動(dòng)能定理求最大速度．
（2）滑塊從A運(yùn)動(dòng)到P的過程中，經(jīng)歷了兩個(gè)過程，一是在水平面上，摩擦力做負(fù)功；二是從B運(yùn)動(dòng)到P的過程，重力做負(fù)功，根據(jù)動(dòng)能定理求解小球剛到達(dá)P位置時(shí)的速度．
（3）滑塊穿過P孔做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，由題意，滑塊滑過C點(diǎn)后正好穿過P孔，又恰能從Q孔落下，故應(yīng)在滑塊下落的時(shí)間內(nèi)，平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)半周的奇數(shù)倍．根據(jù)滑塊上拋的時(shí)間，求出平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的周期，即可求出角速度．

解答 解：（1）當(dāng)彈力與摩擦力大小相等時(shí)，滑塊速度最大，有 kx₂=μmg，
代入數(shù)據(jù)得：x₂=0.04m
根據(jù)動(dòng)能定理，有：W_彈-μmg（x₁-x₂）=E_km
又${W_彈}={E_{p1}}-{E_{p2}}=\frac{1}{2}k{x_1}^2-\frac{1}{2}k{x_2}^2=7.92J$
代入數(shù)據(jù)可得：E_km=6.48J
（2）對(duì)A到P的過程用動(dòng)能定理得：
$\frac{1}{2}k{x_0}^2-μmgL-mg（R+h）=\frac{1}{2}m{v^2}$
代入數(shù)據(jù)可得：v=2m/s
（3）從P孔上升到Q孔落下的時(shí)間為：$t=2\frac{v}{g}=0.4s$
題意，滑塊滑過C點(diǎn)后正好穿過P孔，又恰能從Q孔落下，故應(yīng)在滑塊下落的時(shí)間內(nèi)，平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)半周的奇數(shù)倍，則有：
ωt=（2k+1）π
解得：ω=（5k+2.5）π rad/s（k=0，1，2…）
答：（1）小物塊在此后運(yùn)動(dòng)過程中的最大動(dòng)能是6.48J．
（2）小物塊上升到達(dá)旋轉(zhuǎn)平臺(tái)時(shí)的速度大小是2m/s．
（3）若小物塊能通過P孔，又恰能從Q孔落下，則平臺(tái)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度應(yīng)滿足的條件是ω=（5k+2.5）π rad/s（k=0，1，2…）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查機(jī)械能守恒定律及動(dòng)能定理的應(yīng)用，在解題時(shí)要注意靈活選擇運(yùn)動(dòng)過程，對(duì)不同的過程應(yīng)用合適的物理規(guī)律；同時(shí)注意最后一問中圓周運(yùn)動(dòng)的周期性．