Question

17．如圖所示，質(zhì)量是1kg的小球用長(zhǎng)為0.5m的細(xì)線懸掛在O點(diǎn)，O點(diǎn)距地面高度為1m，如果使小球繞00′軸在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，若細(xì)線最大承受拉力為12.5N，（g=10m/s²）．求：
（1）當(dāng)小球的角速度為多大時(shí)，細(xì)線將斷裂；
（2）細(xì)線將斷裂時(shí)，細(xì)線與豎直方向的夾角為多少；
（3）線斷裂瞬時(shí)小球速度和在空中飛行的時(shí)間為多少；
（4）線斷裂后小球落地點(diǎn)與懸點(diǎn)的水平距離為多少．

Answer 1

分析 （1、2）當(dāng)拉力達(dá)最大時(shí)，此時(shí)豎直方向重力和拉力的分力平衡，則可求得最大夾角；小球靠拉力和重力的合力提供向心力，根據(jù)幾何關(guān)系求出最大向心力，根據(jù)向心力公式求出最大角速度；
（3）由豎直方向上的自由落體規(guī)律可求得小球在空中飛行的時(shí)間；
（4）根據(jù)x=vt求出小球在水平方向的位移，然后結(jié)合幾何關(guān)系即可求出．

解答 解：設(shè)球質(zhì)量為m，繩長(zhǎng)為L(zhǎng)，O點(diǎn)離地高h(yuǎn)，斷繩時(shí)角速度為ω，繩張力為F_T，繩與豎直方向的夾角為θ
（1、2）當(dāng)繩子拉力達(dá)到最大時(shí)，在豎直方向上由平衡條件可知：F_Tcosθ=mg
代入數(shù)據(jù)解得：θ=37°．
根據(jù)牛頓第二定律得：
mgtanθ=mLsinθ•ω²
代入數(shù)據(jù)解得：ω=5rad/s．
（3）線斷裂瞬時(shí)小球速度為：v₀=ωLsin37°=5×0.5×0.6m/s=1.5m/s，
落地時(shí)豎直位移為：y=h-Lcosθ=$\frac{1}{2}$gt²
代入數(shù)據(jù)解得t=$\sqrt{0.12}$ s
（4）水平位移為：x=v₀t
小球落地點(diǎn)與懸點(diǎn)的水平距離為：d=$\sqrt{{L}^{2}si{n}^{2}θ+{x}^{2}}$
代入數(shù)據(jù)解得：d=0.6m
答：（1）當(dāng)小球的角速度為5rad/s時(shí)，細(xì)線將斷裂；
（2）線斷裂后小球落地點(diǎn)與懸點(diǎn)的水平距離為0.6m；
（3）線斷裂瞬時(shí)小球速度為1.5m/s；在空中飛行的時(shí)間為$\sqrt{0.12}$s；
（4）線斷裂后小球落地點(diǎn)與懸點(diǎn)的水平距離為0.6m．

點(diǎn)評(píng) 該題結(jié)合圓錐擺考查向心力以及平拋運(yùn)動(dòng)，解決本題的關(guān)鍵搞清小球做圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源，運(yùn)用牛頓第二定律進(jìn)行求解．