Question

5．如圖所示，長2cm的木板AB靜止在粗糙水平地面上，C為其中點(diǎn)，木板上表面AC部分光滑，CB部分粗糙，下表面與水平地面間的動摩擦因數(shù)μ₁=0.1．木板右端靜止放置一個(gè)小物塊（可看成質(zhì)點(diǎn)），它與木板CB部分的動摩擦因數(shù)μ₂=0.2．已知木板和小物塊的質(zhì)量均為2kg，重力加速度g取10m/s²．現(xiàn)對木板施加一個(gè)水平向右的恒力F，

（1）為使小物塊與木板保持相對靜止，求恒力的最大值F_m；
（2）當(dāng)F=20N時(shí)，求小物塊經(jīng)多長時(shí)間滑到木板中點(diǎn)C；
（3）接第（2）問，當(dāng)小物塊到達(dá)C點(diǎn)時(shí)撤去F，求小物塊運(yùn)動到A端時(shí)木板的速度？

Answer 1

分析 （1）為使小物塊與木板保持相對靜止，恒力達(dá)到最大時(shí)，兩者之間的靜摩擦力恰好達(dá)到最大值，分別以物塊和整體為研究對象，由牛頓第二定律列式，即可求解．
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出物塊和木板的加速度．當(dāng)小物塊滑到木板中點(diǎn)C時(shí)，兩者位移之差等于板長的一半，由此由位移公式列式求解時(shí)間．
（3）由速度時(shí)間公式求得撤去F時(shí)物塊與木板的速度．由于AC段光滑，此后物塊做勻速運(yùn)動，由位移公式求小物塊運(yùn)動到A端時(shí)的時(shí)間，再求得木板的速度．

解答 解：（1）設(shè)小物塊能夠達(dá)到的最大加速度為a_m．此時(shí)，物塊與木板間的靜摩擦力達(dá)到最大值．根據(jù)牛頓第二定律得：
對物塊有 μ₂mg=ma_m．
解得 a_m=2m/s²．
對整體有 F_m-μ₁（M+m）g=（M+m）a_m．
解得 F_m=12N
（2）當(dāng)F=20N時(shí)，此時(shí)小物塊相對于木板發(fā)生相對滑動，由牛頓第二定律得：
對木板有 F-μ₁（M+m）g-μ₂mg=Ma₁．
解得 a₁=6m/s²．
小物塊加速度 a₂=$\frac{{μ}_{2}mg}{m}$=μ₂g=2m/s²．
當(dāng)小物塊滑到木板中點(diǎn)C時(shí)，有 
   $\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{1}^{2}$=$\frac{L}{2}$
解得  t₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$s
（3）設(shè)撤去外力時(shí)木板和物塊的速度分別為v₁和v₂．
則 v₁=a₁t₁=6×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=3$\sqrt{2}$m/s，v₂=a₂t₁=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$m/s
撤去外力后，物塊勻速運(yùn)動，木板勻減速，設(shè)加速度大小為a₃．
則 μ₁（M+m）g=Ma₃．
得 a₃=2m/s²
設(shè)小物塊從長木板中點(diǎn)C滑到A點(diǎn)的時(shí)間為t₂．則有
   （v₁t₂-$\frac{1}{2}{a}_{3}{t}_{2}^{2}$）-v₂t₂=$\frac{L}{2}$
解得 t₂=（$\sqrt{2}$-1）s（另一解不合理舍去）
小物塊運(yùn)動到A端時(shí)木板的速度 v₃=v₁-a₃t₂=3$\sqrt{2}$-2×（$\sqrt{2}$-1）=（$\sqrt{2}$+2）m/s
答：
（1）為使小物塊與木板保持相對靜止，恒力的最大值F_m是12N．
（2）當(dāng)F=20N時(shí)，小物塊經(jīng)$\frac{\sqrt{2}}{2}$s時(shí)間滑到木板中點(diǎn)C；
（3）當(dāng)小物塊到達(dá)C點(diǎn)時(shí)撤去F，小物塊運(yùn)動到A端時(shí)木板的速度是（$\sqrt{2}$+2）m/s．

點(diǎn)評 本題是復(fù)雜的力學(xué)綜合題，要邊計(jì)算邊分析物體的運(yùn)動情況，要抓住各個(gè)過程之間的聯(lián)系，如速度關(guān)系、位移關(guān)系，運(yùn)用牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式結(jié)合研究．