Question

5．如圖，平面直角坐標系空間中有圖示方向的場強為E的勻強電場和磁感應強度為B的勻強磁場，Y軸為兩種場的分界面，圖中虛線為磁場區(qū)域的右邊界，現(xiàn)有一質量為m、電荷量為-q的帶電粒子從電場中坐標位置（-L，0）處，以初速度V₀沿x軸正方向開始運動，且已知$L=\frac{mV_0^2}{Eq}$（重力不計）．
試求：
（1）帶電粒子離開電場時的速度？
（2）若帶電粒子能返回電場，則此帶電粒子在磁場中運動的時間為多大？
（3）要使帶電粒子能穿越磁場區(qū)域而不再返回電場中，磁場的寬度d應滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）根據牛頓第二定律與運動學公式，結合運動的合成與分解的規(guī)律，即可求解；
（2）由牛頓第二定律，洛倫茲力提供向心力，結合運動軌跡的圓心角，即可求解；
（3）根據圖的幾何關系，確定已知長度與半徑的關系，從而即可求解．

解答 解：
（1）帶電粒子在電場中做類平拋運動，設電場（Y軸）方向上的加速度為a，
由牛頓運動定律得：Eq=ma
設Y軸方向的分速度為V_Y，出電場時的速度為V，
則：由：L=V₀t及V_Y=at得V_Y=V₀
合速度大小為：$V=\sqrt{V_0^2+V_Y^2}=\sqrt{2}{V_0}$
V與Y軸方向的夾角為$θ=arccos\frac{{V}_{Y}}{V}=\frac{π}{4}$
（2）磁場力提供向心力：BqV=m$\frac{V^2}{R}，R=\frac{mV}{Bq}$
則周期為：$T=\frac{2πR}{V}=\frac{2πm}{Bq}$
粒子在磁場中運動了四分之三圓弧，如右圖：

則$t=\frac{3}{4}T=\frac{3πm}{2Bq}$
（3）由右圖知d＜R（1+cosθ），
則由上面半徑R和角度的大小得d＜$\frac{{（1+\sqrt{2}）m{V_0}}}{Bq}$．
答：（1）帶電粒子離開電場時的速度大小為$\sqrt{2}{v}_{0}$，方向y軸的夾角為$\frac{π}{4}$；
（2）電粒子能返回電場，則此帶電粒子在磁場中運動的時間為$\frac{3πm}{2Bq}$；
（3）要使帶電粒子能穿越磁場區(qū)域而不再返回電場中，磁場的寬度d應滿足：d＜$\frac{{（1+\sqrt{2}）m{V_0}}}{Bq}$條件．

點評 本題考查粒子做類平拋運動與勻速圓周運動，掌握處理類平拋運動與勻速圓周運動的處理方法及其規(guī)律的應用，注意畫出運動圖，及搞清求運動時間時的圓心角．