Question

6．如圖所示，在紙面內有磁感應強度大小均為B，方向相反的勻強磁場，虛線等邊三角形ABC為兩磁場的理想邊界．已知三角形ABC邊長為L，虛線三角形內為方向垂直紙面向外的勻強磁場，三角形外部的足夠大空間為方向垂直紙面向里的勻強磁場．一電量為+q、質量為m的帶正電粒子從AB邊中點P垂直AB邊射入三角形外部磁場，不計粒子的重力和一切阻力，試求：
（1）要使粒子從P點射出后在最快時間內通過B點，則從P點射出時的速度v₀為多大？
（2）滿足（1）問的粒子通過B后第三次通過磁場邊界時到B的距離是多少？
（3）滿足（1）問的粒子從P點射入外部磁場到再次返回到P點的最短時間為多少？畫出粒子的軌跡并計算．

Answer 1

分析 （1）粒子經過半個圓周運動到B點時，粒子運動的時間最短，利用周期公式T=$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{2πr}{{v}_{0}}$，即可求出從P點射出時的速度v₀；
（2）畫出粒子運動軌跡的示意圖，利用幾何關系即可求出粒子通過B后第三次通過磁場邊界時距B的距離；
（3）畫出整個過程的粒子軌跡過程圖，利用周期公式結合轉過的圓心角θ，即可求出粒子再次返回到P點的最短時間．

解答 解：（1）當粒子經過半個圓周到達B點所用時間最短，
根據(jù)幾何關系可知，此時粒子做圓周運動半徑：r=$\frac{L}{4}$
粒子在磁場中做圓周運動的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
粒子從P點射出后到達B點所需最小時間：t₁=$\frac{T}{2}$=$\frac{πm}{qB}$
可得：v₀=$\frac{πr}{{t}_{1}}$=$\frac{qBL}{4m}$
（2）畫出粒子軌跡過程圖如圖所示，

粒子做圓周運動半徑r=$\frac{L}{4}$，由幾何關系可知，過B點后第三次通過磁場邊界時距離B點的距離：S=3r=$\frac{3L}{4}$
（3）粒子運動軌跡如圖，可知經過一次周期性運動到達P點粒子在磁場中運動的時間最短，

根據(jù)過程圖可知，粒子做圓周運動轉過的圓心角為：θ=1500°
再次返回到P點的最短時間：t_min=$\frac{θ}{360°}$T=$\frac{1500°}{360°}•\frac{2πm}{qB}$=$\frac{25πm}{3qB}$
答：（1）要使粒子從P點射出后在最快時間內通過B點，從P點射出時的速度v₀為多$\frac{qBL}{4m}$；
（2）滿足（1）問的粒子通過B后第三次通過磁場邊界時到B的距離為$\frac{3L}{4}$；
（3）滿足（1）問的粒子從P點射入外部磁場到再次返回到P點的最短時間為$\frac{25πm}{3qB}$，粒子運動軌跡如圖所示．

點評 本題考查帶電粒子在有界勻強磁場中的運動，解題關鍵是要找到每一段圓周運動的圓心，正確畫出粒子軌跡過程圖，利用洛倫茲力提供向心力結合幾何關系，第三問要注意分析好轉過的總的圓心角θ．