Question

10．如圖，質量為m的小球，在半徑為R的質量為M光滑圓形管道內做圓周運動，圓形管道豎直地放置在地面上，不會傾倒．小球的半徑略微比管道的內徑小一點，且遠小于R可視為質點．求：
（1）若小球恰好能夠通過最高點，那當小球運動到最低點時對圓管的作用力；
（2）若小球以某一速度運動到最高點時，地面對圓管恰好無支持力，求小球運動到最低點時地面對圓管的作用力．

Answer 1

分析 （1）圓形管道內能支撐小球，小球能夠通過最高點時的最小速度為0，根據(jù)動能定理求出最低點的速度，再根據(jù)向心力公式求解；
（2）地面對圓管恰好無支持力，則小球對圓管向上的壓力等于圓管的重力，根據(jù)牛頓第三定律可知，圓管對小球的壓力T₂=Mg，小球在最高點，根據(jù)向心力公式求出速度，從最高點到最低點的過程中，根據(jù)動能定理求出最低點速度，在最低點，根據(jù)向心力公式求出圓管對小球的作用力，根據(jù)牛頓第三定律可知，小球對圓管向下的壓力，對圓管受力分析，根據(jù)平衡條件求出地面的支持力．

解答 解：（1）小球恰好能夠通過最高點，則到達最高點的速度為零，從最高點到最低點的過程中，根據(jù)動能定理得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}=mg•2R$
在最低點，根據(jù)向心力公式得：
T₁-mg=m$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$
解得：T₁=5mg，
根據(jù)牛頓第三定律可知，小球對圓管的作用力大小為5mg，方向向上，
（2）若小球以某一速度運動到最高點時，地面對圓管恰好無支持力，則小球對圓管向上的壓力等于圓管的重力，根據(jù)牛頓第三定律可知，圓管對小球的壓力為：
T₂=Mg…①，
小球在最高點，根據(jù)向心力公式得：
${T}_{2}+mg=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{R}$…②
從最高點到最低點的過程中，根據(jù)動能定理得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{3}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}=mg•2R$…③，
在最低點，根據(jù)向心力公式得：
${T}_{3}-mg=m\frac{{{v}_{3}}^{2}}{R}$…④
由①②③④解得：
T₃=6mg+Mg
根據(jù)牛頓第三定律可知，小球對圓管向下的壓力為：T₄=T₃=6mg+Mg，
圓管處于靜止狀態(tài)，則地面對圓管的支持力為：F_N=T₄+Mg=6mg+2Mg，方向向上．
答：（1）若小球恰好能夠通過最高點，那當小球運動到最低點時對圓管的作用力大小為5mg，方向向上；
（2）小球運動到最低點時地面對圓管的作用力大小為6mg+2Mg，方向向上．

點評 本題主要考查了動能定理、向心力公式以及牛頓第二定律的直接應用，解題時關鍵抓住小球恰好能夠通過最高點，則到達最高點的速度為零以及地面對圓管恰好無支持力，則小球對圓管向上的壓力等于圓管的重力求解，難度適中．