Question

在光滑的xOy水平面內的整個x軸上分布如圖所示的磁場．其磁感應強度的大小均為B₀，方向垂直于xOy平面，相鄰磁場區(qū)域的磁場方向相反．每個同向磁場區(qū)域的寬度均為l₀．在磁場所在區(qū)間，xOy平面內放置一由n匝線圈串聯而成的矩形導線框abcd，線框的bc邊平行于x軸．bc=l₀、ab=L，總電阻為R，質量為m．整個磁場以速度v₀沿x軸正方向勻速運動．
（1）若線框受到一個外力F作用，線框保持靜止．求：線框所受外力F的大小和方向
（2）撤去線框受到的外力F，線框如何運動？線框最大速度是多少？
（3）t=0時，線框的速度為v₀，ab邊與Oy軸重合，整個磁場停止運動．線框最后停在何處？

Answer 1

分析：（1）整個磁場以速度v₀沿x軸正方向勻速運動，相當于磁場不動，線框向左做勻速運動，切割磁感線的速度大小為v₀，線框左右兩邊都切割磁感線，而且有n匝線圈，由E=2nB₀Lv₀求整個線框中產生的感應電動勢，再由歐姆定律求感應電流的大�。�線框所受的安培力的合力等于左右兩邊所受的安培力之和，由左手定則判斷可知方向向右，由F=2nB₀LI求安培力的大�。�要使線框保持靜止，外力必須與安培力平衡，即可求得外力的大小和方向．
（2）撤去線框受到的外力F，線框在安培力的作用力向右運動，也產生感應電動勢，線框中總的感應電動勢減小，感應電流減小，所受的安培力減小，加速度減小，最終速度與磁場運動的速度相同．
（3）根據動量定理列式，得到在極短時間內線框速度變化量與時間的關系，再進行求和，即可求得位移．

解答：解：（1）切割磁感線的速度為v₀，任意時刻線框中電動勢大小為 E=2nB₀Lv₀ 
導線中的電流大小  I=

2nB0Lv0

R

線框所受安培力的大小為：F=2nB0LI=

4n2 B 2 0 L2v0

R

由左手定則判斷，線框所受安培力的方向始終沿x軸正方向
要使線框保持靜止，則線框所受外力F的大小為 F=2nB0LI=

4n2 B 2 0 L2v

R

，方向始終沿x軸負方向．
（2）撤去線框受到的外力F，線框在安培力的作用力向右運動，也產生感應電動勢，線框中總的感應電動勢減小，感應電流減小，所受的安培力減小，所以線框沿x軸正方向做變加速運動，其加速度續(xù)漸變小，速度續(xù)漸變大，最后做勻速運動，其速度大小為v₀．
（3）線框為v時有：F=2nB0LI=

4n2 B 2 0 L2v0

R

在t→△t時間內，由動量定理：-F△t=m△v 
兩邊求和：Σ

4n2 B 2 0 L2v

R

△t=Σ

4n2 B 2 0 L2△x

R

=mv0
解得：

4n2 B 2 0 L2x

R

=mv0，即x=

mv0R

4n2 B 2 0 L2

答：
（1）線框所受外力F的大小為

4n2 B 2 0 L2v0

R

，方向始終沿x軸負方向．
（2）線框沿x軸正方向做變加速運動，其加速度續(xù)漸變小，速度續(xù)漸變大，最后做勻速運動，其最大速度大小為v₀．
（3）t=0時，線框的速度為v₀，ab邊與Oy軸重合，整個磁場停止運動．線框最后停在即x=

mv0R

4n2 B 2 0 L2

．

點評：本題關鍵要掌握法拉第定律、歐姆定律和安培力公式、左手定則，要注意線框有n匝，不能應用公式E=BLv求感應電動勢，線框的左右兩邊都受安培力作用，注意細節(jié)．關鍵是運用微元法，由動量定理求解位移x．