Question

9．在光滑水平地面上有一凹槽A，中央放一小物塊B，物塊與左右兩邊槽壁的距離如圖所示，L為1.0m，凹槽與物塊的質(zhì)量均為m，兩者之間的動摩擦因數(shù)μ為0.05，開始時物塊靜止，凹槽以v₀=5m/s初速度向右運(yùn)動，設(shè)物塊與凹槽槽壁碰撞過程中沒有能量損失，且碰撞時間不計．g取10m/s²．求：
（1）從凹槽開始運(yùn)動到兩者相對靜止物塊與右側(cè)槽壁碰撞的次數(shù)；
（2）從凹槽開始運(yùn)動到兩者剛相對靜止所經(jīng)歷的時間及該時間內(nèi)凹槽運(yùn)動的位移大小．

Answer 1

分析 （1）碰撞過程中動量守恒，根據(jù)動量守恒定律列式即可求解速度；再對整體根據(jù)動能定理列式即可求解；
（2）設(shè)凹槽與物塊碰前的速度分別為v₁、v₂，碰后的速度分別為v₁′、v₂′．根據(jù)動量守恒定律及能量守恒定律列式可知，每碰撞一次凹槽與物塊發(fā)生一次速度交換，在同一坐標(biāo)系上兩者的速度圖線，根據(jù)碰撞次數(shù)可分為13段，凹槽、物塊的v-t圖象在兩條連續(xù)的勻變速運(yùn)動圖線間轉(zhuǎn)換，故可用勻變速直線運(yùn)動規(guī)律求時間，凹槽的v-t圖象所包圍的陰影面積即為凹槽的位移大小．

解答 解：（1）設(shè)兩者間相對靜止時的速度為v，設(shè)向右為正方向；則由動量守恒定律得：
mv₀=2mv
解得：v=$\frac{{v}_{0}}{2}=\frac{5}{2}=2.5m/s$
物塊與凹槽間的滑動摩擦力f=μN(yùn)=μmg
設(shè)兩者間相對靜止前，相對運(yùn)動的路程為s₁，由動能定理得：
$-f{s}_{1}=\frac{1}{2}（m+m）{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
解得：s₁=12.5m
已知L=1m，可推知物塊與右側(cè)槽壁共發(fā)生6次碰撞．
（2）設(shè)凹槽與物塊碰前的速度分別為v₁、v₂，碰后的速度分別為v₁′、v₂′．有
mv₁+mv₂=mv₁′+mv₂′，$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+{{\frac{1}{2}mv}_{2}}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{1}{′}^{2}+{\frac{1}{2}mv}_{2}{′}^{2}$
得 v₁′=v₂，v₂′=v₁
即每碰撞一次凹槽與物塊發(fā)生一次速度交換，在同一坐標(biāo)系上兩者的速度圖線如圖所示，
根據(jù)碰撞次數(shù)可分為13段，凹槽、物塊的v-t圖象在兩條連續(xù)的勻變速運(yùn)動圖線間轉(zhuǎn)換，
故可用勻變速直線運(yùn)動規(guī)律求時間．則
v=v₀+at，a=-μg
解得：t=5s
凹槽的v-t圖象所包圍的陰影面積即為凹槽的位移大小s₂．（等腰三角形面積共分13份，第一份面積為0.5L．其余每份面積均為L．）
${s}_{2}=\frac{1}{2}（\frac{{v}_{0}}{2}）t+6.5L=12.75m$
答：（1）從凹槽開始運(yùn)動到兩者相對靜止物塊與右側(cè)槽壁碰撞的次數(shù)6次；
（2）從凹槽開始運(yùn)動到兩者剛相對靜止所經(jīng)歷的時間為5s，該時間內(nèi)凹槽運(yùn)動的位移大小為12.75m．

點評 本題主要考查了動量守恒定律、動能定理及能量守恒定律的直接應(yīng)用，要求同學(xué)們能正確分析物體的運(yùn)動情況，能根據(jù)題意畫出速度-時間圖象，難度適中．