Question

如圖所示，是兩對接的軌道，兩軌道與水平的夾角均為α=30°，左軌道光滑，右軌道粗糙．一質(zhì)點自左軌道上距O點L₀處從靜止起滑下，當(dāng)質(zhì)點第二次返回到左軌道并達到最高點時，它離O點的距離為L₀/3，兩軌道對接處有一個很小的圓弧，質(zhì)點與軌道不會發(fā)生碰撞，求質(zhì)點與右軌道的動摩擦因數(shù)．

Answer 1

分析：根據(jù)動能定理分別求出小球每次下滑的高度與上升的高度關(guān)系，從而得出質(zhì)點第二次返回到左軌道并達到最高點時高度與原高度的關(guān)系式，從而解出質(zhì)點與右軌道的動摩擦因數(shù)．

解答：解：設(shè)小球起始高度為h₁，各次到達軌道最高點的高度如圖所示．小球從h₁到h₂：
mg （h₁-h₂）=?μmgcosα

h2

sinα

=?μmg?cotα?h₂   （1）
得：h2=

1

1+μcotα

h1                  （2）
小球從h₂到h₃：mg （h₂-h₃）=μmgcotα?h₂
解得：h₃=（1-μcotα）?h₂                   （4）
小球從h₃到h₄，可列與（1）類似的式子，得：
h4=

1

1+μcotα

h3                     （5）
小球從h₄到h₅，可列類似（3）的式子，得：
h₅=（1-μcotα）?h₄                      （6）
由（2）、（4）、（5）、（6）得小球第二次返回左軌道，并達到最高點的高度：
h5=

(1-μcotα)2

(1+μcotα)2

h1                  （7）
根據(jù)題意可知：h5=

h1

3

                    （8）
由（7）、（8）式解得：μ=

3 -1

3 +1

tanα=

3 -1

3 +3

=0.155．
答：質(zhì)點與右軌道的動摩擦因數(shù)為0.155．

點評：本題涉及到力在空間的累積效應(yīng)優(yōu)先考慮的是動能定理，也可以由牛頓定律和運動學(xué)公式求解．