Question

（2007?攀枝花模擬）在智利工作的天文學(xué)家最近表示．他們很可能第一次直接拍攝到了圍繞恒星旋轉(zhuǎn)的行星．這顆恒星名叫
2M1207．它比太陽要小的多，距離我們有230光年之遠．洛杉磯加利福尼亞大學(xué)的本杰明教授說：“假如圍繞2M1207的真的是一顆行星．這將是人類第一次直接拍攝到太陽系外行星的照片，很久以來，科學(xué)家一直想象著能夠拍攝到類似太陽系這樣的行星圍繞一顆恒星運轉(zhuǎn)的太陽系外星體．”如果知道了這個行星的質(zhì)量m，行星的半徑r，行星的運行周期T，以及行星運行半徑R．求：
（1）2M1207的恒星的質(zhì)量
（2）該行星的衛(wèi)星的最大速度
（3）你還能推導(dǎo)出關(guān)于這個行星的哪些物理量，至少給出兩個？

Answer 1

分析：（1）這個行星繞2M1207恒星做勻速圓周運動，由萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式，即可求得恒星的質(zhì)量．
（2）當衛(wèi)星繞行星表面附近運動時速度最大，由萬有引力等于向心力，列式求解即可；
（3）根據(jù)圓周運動的規(guī)律，分析即可．

解答：解：（1）設(shè)2M1207恒星的質(zhì)量為M，由萬有引力提供行星運動的向心力得：
  G

Mm

R2

=m

4π2

T2

R
解得M=

4π2R3

GT2

（2）設(shè)繞該行星運動的衛(wèi)星質(zhì)量為m′，最大速度為v_m，則由萬有引力提供衛(wèi)星運動的向心力，得
   G

mm′

r2

=m′

v 2 m

r

解得，v_m=

Gm r

（3）該行星做圓周運動的角速度為ω=

2π

T

，線速度為v=

2πR

T

．
答：
（1）2M1207的恒星的質(zhì)量是

4π2R3

GT2

．
（2）該行星的衛(wèi)星的最大速度是

Gm r

．
（3）還能推導(dǎo)出關(guān)于這個行星的角速度和線速度．

點評：應(yīng)用萬有引力定律解決天體運動時，要建立模型，知道旋轉(zhuǎn)天體的軌道半徑和周期，可求出中心天體的質(zhì)量；同時注意第一宇宙速度的定義為半徑為星球半徑時的衛(wèi)星運行速度．