Question

13．如圖所示，足夠長光滑水平軌道與半徑為R的光滑四分之一圓弧軌道相切．現(xiàn)從圓弧軌道的最高點由靜止釋放一質(zhì)量為m的彈性小球A，當A球剛好運動到圓弧軌道的最低點時，與靜止在該點的另一彈性小球B發(fā)生彈性碰撞．已知B球的質(zhì)量是A球質(zhì)量的k倍，且兩球均可看成質(zhì)點．
（1）求A球運動到最低點時，與B球碰撞前瞬間，A球?qū)�軌道的壓力多大�?br />（2）若碰撞結束的瞬間，A球?qū)�圓弧軌道最低點壓力剛好等于碰前其壓力的一半，求k的可能取值；
（3）若k已知且等于某一適當?shù)闹禃r，A、B兩球在水平軌道上經(jīng)過多次彈性碰撞后，最終恰好以相同的速度大小沿水平軌道運動．求此種情況下最后一次碰撞A球?qū)�B球的沖量大小．

Answer 1

分析 （1）小球A沿圓弧滾下過程機械能守恒，受到的重力和支持力的合力提供向心力；根據(jù)機械能守恒定律和牛頓第二定律求出支持力的大�。�
（2）碰撞過程系統(tǒng)機械能守恒，同時系統(tǒng)動量守恒，小球A、B受到的重力和支持力的合力均提供向心力，結合動量守恒定律、機械能守恒定律和牛頓第二定律求出k的可能值．
（3）對碰撞過程運用機械能守恒定律列式，同時根據(jù)結合動量守恒定律列式，求出碰撞前后的速度，最后根據(jù)動量定理球最后一次碰撞A球?qū)�B球的沖量．

解答 解：（1）設A球到達圓弧軌道最低點時的速度為v₀，則：
$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=mgR$    
設此時軌道對A球支持力為N，則：
$N-mg=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$   
聯(lián)立解得N=3mg．
由牛頓第三定律知，此時A球?qū)�軌道的壓力N′=N=3mg． 
（2）設碰撞后A球的速度大小為v₁，對軌道的壓力為N₁，B球的速度為v₂，則：
mv₀=kmv₂±m(xù)v₁，
$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}km{{v}_{2}}^{2}$，
${N}_{1}-mg=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{R}$，
${N}_{1}=\frac{1}{2}N$．
代入數(shù)據(jù)聯(lián)立解得k=3或k=$\frac{1}{3}$．
（3）設最終兩球的速度大小為v，根據(jù)機械能守恒定律得，
$mgR=\frac{1}{2}m{v}^{2}+\frac{1}{2}km{v}^{2}$，
最后一次碰撞前A、B兩球的速度分別為v_A、v_B，
則：mv_A+kmv_B=kmv-mv 
$\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}+\frac{1}{2}km{{v}_{B}}^{2}=\frac{1}{2}m{v}^{2}+\frac{1}{2}km{v}^{2}$
設最后一次碰撞A對B的動量為I，根據(jù)動量定理得，
I=kmv-kmv₀，
解上述方程組可得I=$\frac{4km}{k+1}\sqrt{\frac{2gR}{k+1}}$．
答：（1）A球?qū)�軌道的壓力�?mg．
（2）k的可能取值為3或$\frac{1}{3}$．
（3）最后一次碰撞A球?qū)�B球的沖量大小為$\frac{4km}{k+1}\sqrt{\frac{2gR}{k+1}}$．

點評 本題關鍵是碰撞前A球機械能守恒，碰撞過程兩球系統(tǒng)機械能守恒，動量也守恒，同時根據(jù)動量定理列式求解．