Question

17．如圖甲所示，足夠長(zhǎng)的光滑平行金屬導(dǎo)軌傾斜放置，傾角θ=37°，寬度為l，電阻忽略不計(jì)，其上端接一電阻，阻值為R．一質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒MN垂直于導(dǎo)軌放置，兩端與導(dǎo)軌接觸良好，接入電路的電阻為r，與導(dǎo)軌上端的距離為l．在導(dǎo)軌間存在著垂直于導(dǎo)軌平面向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小隨時(shí)間變化的圖象如圖乙所示．已知導(dǎo)體棒在平行于導(dǎo)軌的拉力F作用下始終處于靜止?fàn)顟B(tài)，sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度為g．
（1）求拉力F隨時(shí)間變化的關(guān)系式；
（2）若在t=t₀時(shí)撤去拉力，求導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)狀態(tài)達(dá)到穩(wěn)定時(shí)的速度大小及此時(shí)電阻R上消耗的電功率；
（3）若在t=t₀時(shí)撤去拉力，導(dǎo)體棒從釋放到速度達(dá)到穩(wěn)定時(shí)的位移為x，求導(dǎo)體棒在該過程中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）在t₀時(shí)間內(nèi)，導(dǎo)體棒MN固定不動(dòng)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度均勻增大，回路中產(chǎn)生恒定的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和感應(yīng)電流，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，由閉合電路歐姆定律求解感應(yīng)電流的大小，由楞次定律判斷感應(yīng)電流的方向，由受力分析即可求出F的表達(dá)式．
（2）在t=t₀時(shí)撤去拉力后MN由靜止釋放，先做加速運(yùn)動(dòng)，速度增大時(shí)，所受的安培力增大，加速度減小，當(dāng)加速度減小至零時(shí)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，由平衡條件和安培力與速度的關(guān)系，求出穩(wěn)定時(shí)MN的速度；由功率公式求解R消耗的電功率．
（3）MN沿斜面向下運(yùn)動(dòng)的過程中重力沿斜面向下的分力的沖量與安培力的沖量的和等于棒MN動(dòng)量的變化，由動(dòng)量定理即可求出．

解答 解：（1）0～t₀時(shí)間內(nèi)，回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：
$E=\frac{△φ}{△t}={l}^{2}\frac{△B}{△t}=\frac{{B}_{0}{l}^{2}}{{t}_{0}}$
0～t₀時(shí)間內(nèi)，回路中的電流為$I=\frac{E}{R+r}$此階段電流恒定，由楞次定律可知，回路中的電流方向?yàn)镹流向M；根據(jù)左手定則可知，MN受到的安培力的方向向上．對(duì)MN進(jìn)行受力分析可得：
F+BIL=mgsinθ
又：B=$\frac{{B}_{0}}{{t}_{0}}•t$
聯(lián)立可得：F=$0.6mg-\frac{{B}_{0}^{3}{l}^{3}}{{t}_{0}^{2}（R+r）}$
（2）t₀時(shí)刻之后，當(dāng)速度增大到使導(dǎo)體棒受到的安培力與重力沿斜面向下的分力相等時(shí)，速度達(dá)到最大，即為：
$\frac{{B}_{0}^{2}{l}^{2}v}{R+r}=mgsinθ$
解得導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)的最大速度為：$v=\frac{0.6mg（R+r）}{{{B}_{0}}^{2}{l}^{2}}$
此時(shí)電阻R上消耗的電功率為：P=I²R=$\frac{0.36{m}^{2}{g}^{2}}{{B}_{0}^{2}{l}^{2}}$
（3）t₀時(shí)刻之后，在MN棒勻速直線運(yùn)動(dòng)前，電路中的平均電動(dòng)勢(shì)為：$\overline{E}=\frac{△Φ}{t}=\frac{{B}_{0}lx}{t}$
則平均感應(yīng)電流為：$\overline{I}$′=$\frac{\overline{E}}{R+r}$
MN棒所受的安培力大小為：$\overline{F}$=${B}_{0}\overline{I}l=\frac{{B}_{0}^{2}{l}^{2}x}{t（R+r）}$，方向沿軌道向上．
MN沿斜面向下運(yùn)動(dòng)的過程中重力沿斜面向下的分力的沖量與安培力的沖量的和等于棒MN動(dòng)量的變化，由動(dòng)量定理得：
$mv=mgsinθ•t-\overline{F}t$
聯(lián)立得：t=$\frac{m（R+r）}{{B}_{0}^{2}{l}^{2}}+\frac{{B}_{0}^{2}{l}^{2}x}{0.6mg（R+r）}$
答：（1）拉力F隨時(shí)間變化的關(guān)系式為F=$0.6mg-\frac{{B}_{0}^{3}{l}^{3}}{{t}_{0}^{2}（R+r）}$；
（2）若在t=t₀時(shí)撤去拉力，導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)狀態(tài)達(dá)到穩(wěn)定時(shí)的速度大小是$\frac{0.6mg（R+r）}{{{B}_{0}}^{2}{l}^{2}}$，此時(shí)電阻R上消耗的電功率是$\frac{0.36{m}^{2}{g}^{2}}{{B}_{0}^{2}{l}^{2}}$；
（3）若在t=t₀時(shí)撤去拉力，導(dǎo)體棒從釋放到速度達(dá)到穩(wěn)定時(shí)的位移為x，導(dǎo)體棒在該過程中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是$\frac{m（R+r）}{{B}_{0}^{2}{l}^{2}}+\frac{{B}_{0}^{2}{l}^{2}x}{0.6mg（R+r）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題運(yùn)用法拉第電磁感應(yīng)定律和歐姆定律結(jié)合求解感應(yīng)電流的大�。�由平衡條件即可求出導(dǎo)體棒的速度，應(yīng)用公式E=BLv求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，然后根據(jù)速度最大的臨界條件即可求出．