1、向量是數形結合的典范。向量的幾何表示法--有向線段表示法是運用幾何性質解決向量問題的基礎。在向量的運算過程中,借助于圖形性質不僅可以給抽象運算以直觀解釋,有時甚至更簡捷。
向量運算中的基本圖形:①向量加減法則:三角形或平行四邊形;②實數與向量乘積的幾何意義--共線;③定比分點基本圖形--起點相同的三個向量終點共線等。
1、向量的三種線性運算及運算的三種形式。
向量的加減法,實數與向量的乘積,兩個向量的數量積都稱為向量的線性運算,前兩者的結果是向量,兩個向量數量積的結果是數量。每一種運算都可以有三種表現形式:圖形、符號、坐標語言。
主要內容列表如下:
運 算 |
圖形語言 |
符號語言 |
坐標語言 |
加法與減法 |
|
+= -= |
記=(x1,y1),=(x1,y2) 則+=(x1+x2,y1+y2) -=(x2-x1,y2-y1) |
|
+= |
|
|
實數與向量 的乘積 |
|
=λ λ∈R |
記=(x,y) 則λ=(λx,λy) |
兩個向量 的數量積 |
|
.=|||| cos<,> |
記=(x1,y1), =(x2,y2) 則.=x1x2+y1y2 |
2、運算律
加法:+=+,(+)+=+(+)
實數與向量的乘積:λ(+)=λ+λ;(λ+μ)=λ+μ,λ(μ)=(λμ)
兩個向量的數量積:.=.;(λ).=.(λ)=λ(.),(+).=.+.
說明:根據向量運算律可知,兩個向量之間的線性運算滿足實數多項式乘積的運算法則,正確遷移實數的運算性質可以簡化向量的運算,例如(±)2=
3、重要定理、公式
(1)平面向量基本定理;如果+是同一平面內的兩個不共線向量,那么對于該平面內任一向量,有且只有一對數數λ1,λ2,滿足=λ1+λ2,稱λ1λ+λ2為,的線性組合。
根據平面向量基本定理,任一向量與有序數對(λ1,λ2)一一對應,稱(λ1,λ2)為在基底{,}下的坐標,當取{,}為單位正交基底{,}時定義(λ1,λ2)為向量的平面直角坐標。
向量坐標與點坐標的關系:當向量起點在原點時,定義向量坐標為終點坐標,即若A(x,y),則=(x,y);當向量起點不在原點時,向量坐標為終點坐標減去起點坐標,即若A(x1,y1),B(x2,y2),則=(x2-x1,y2-y1)
(2)兩個向量平行的充要條件
符號語言:若∥,≠,則=λ
坐標語言為:設=(x1,y1),=(x2,y2),則∥(x1,y1)=λ(x2,y2),即,或x1y2-x2y1=0
在這里,實數λ是唯一存在的,當與同向時,λ>0;當與異向時,λ<0。
|λ|=,λ的大小由及的大小確定。因此,當,確定時,λ的符號與大小就確定了。這就是實數乘向量中λ的幾何意義。
(3)兩個向量垂直的充要條件 符號語言:⊥.=0
坐標語言:設=(x1,y1), =(x2,y2),則⊥x1x2+y1y2=0
(4)線段定比分點公式
如圖,設
則定比分點向量式:
定比分點坐標式:設P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y2)
則
特例:當λ=1時,就得到中點公式: ,
實際上,對于起點相同,終點共線三個向量,,(O與P1P2不共線),總有=u+v,u+v=1,即總可以用其中兩個向量的線性組合表示第三個向量,且系數和為1。
(5)平移公式:
①點平移公式,如果點P(x,y)按=(h,k)平移至P’(x’,y’),則
分別稱(x,y),(x’,y’)為舊、新坐標,為平移法則
在點P新、舊坐標及平移法則三組坐標中,已知兩組坐標,一定可以求第三組坐標
②圖形平移:設曲線C:y=f(x)按=(h,k)平移,則平移后曲線C’對應的解析式為y-k=f(x-h)
當h,k中有一個為零時,就是前面已經研究過的左右及上下移
利用平移變換可以化簡函數解析式,從而便于研究曲線的幾何性質
(6)正弦定理,余弦定理
正弦定理:余弦定理:a2=b2+c2-2cbcosA b2=c2+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosc
定理變形:cosA=,cosB=,cosC=
5、向量既是重要的數學概念,也是有力的解題工具。利用向量可以證明線線垂直,線線平行,求夾角等,特別是直角坐標系的引入,體現了向量解決問題的“程序性”特點。
例1、如圖,,為單位向量,與夾角為1200, 與的夾角為450,||=5,用,表示。解題思路分析:
以,為鄰邊,為對角線構造平行四邊形
把向量在,方向上進行分解,如圖,設=λ,=μ,λ>0,μ>0則=λ+μ∵ ||=||=1∴ λ=||,μ=||
△OEC中,∠E=600,∠OCE=750,由得:
∴
∴
說明:用若干個向量的線性組合表示一個向量,是向量中的基本而又重要的問題,通常通過構造平行四邊形來處理
例2、已知△ABC中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),BC邊上的高為AD,求點D和向量坐標。
解題思路分析:用解方程組思想設D(x,y),則=(x-2,y+1)∵=(-6,-3),.=0
∴ -6(x-2)-3(y+1)=0,即2x+y-3=0 ①∵=(x-3,y-2),∥∴ -6(y-2)=-3(x-3),即x-2y+1=0 ②
由①②得:∴ D(1,1),=(-1,2)
例3、求與向量=,-1)和=(1,)夾角相等,且模為的向量的坐標?!?
解題思路分析:用解方程組思想法一:設=(x,y),則.=x-y,.=x+y
∵ <,>=<,>∴ ∴ 即 ①
又||=∴ x2+y2=2 ②
由①②得 或(舍)∴=
法二:從分析形的特征著手
∵ ||=||=2 .=0
∴ △AOB為等腰直角三角形,如圖∵ ||=,∠AOC=∠BOC∴ C為AB中點∴ C()
說明:數形結合是學好向量的重要思想方法,分析圖中的幾何性質可以簡化計算。
例4、在△OAB的邊OA、OB上分別取點M、N,使||∶||=1∶3,||∶||=1∶4,設線段AN與BM交于點P,記= ,=,用 ,表示向量。
解題思路分析:∵ B、P、M共線∴ 記=s
∴ ?、?/p>
同理,記∴ = ②∵ ,不共線
∴ 由①②得解之得:∴
說明:從點共線轉化為向量共線,進而引入參數(如s,t)是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一,利用該定理唯一性的性質得到關于s,t的方程。
例5、已知長方形ABCD,AB=3,BC=2,E為BC中點,P為AB上一點
(1)利用向量知識判定點P在什么位置時,∠PED=450;
(2)若∠PED=450,求證:P、D、C、E四點共圓。
解題思路分析:利用坐標系可以確定點P位置如圖,建立平面直角坐標系
則C(2,0),D(2,3),E(1,0)設P(0,y)∴ =(1,3),=(-1,y)
∴ .=3y-1代入cos450=
解之得(舍),或y=2∴ 點P為靠近點A的AB三等分處
(3)當∠PED=450時,由(1)知P(0,2)∴ =(2,1),=(-1,2)
∴.=0∴ ∠DPE=900又∠DCE=900∴ D、P、E、C四點共圓
說明:利用向量處理幾何問題一步要驟為:①建立平面直角坐標系;②設點的坐標;③求出有關向量的坐標;④利用向量的運算計算結果;⑤得到結論。
(一) 選擇題
1、平面內三點A(0,-3),B(3,3),C(x,-1),若∥,則x的值為:
A、 -5 B、-1 C、1 D、5
2、平面上A(-2,1),B(1,4),D(4,-3),C點滿足,連DC并延長至E,使||=||,則點E坐標為: A、(-8,) B、() C、(0,1) D、(0,1)或(2,)
2、點(2,-1)沿向量平移到(-2,1),則點(-2,1)沿平移到:
3、A、(2,-1) B、(-2,1) C、(6,-3) D、(-6,3)
4、△ABC中,2cosB.sinC=sinA,則此三角形是:
A、 直角三角形 B、等腰三角形 C、等邊三角形 D、以上均有可能
5、設,, 是任意的非零平面向量,且相互不共線,則:
①(.)-(.)=0 ②||-||<|-|
③(.)-(.)不與垂直 ④(3+2).(3-2)=9||2-4|2中,真命題是:
A、①② B、②③ C、③④ D、②④
6、△ABC中,若a4+b4+c4=2c2(a2+b2),則∠C度數是:
A、600 B、450或1350 C、1200 D、300
7、△OAB中,=,=,=,若=,t∈R,則點P在
A、∠AOB平分線所在直線上 B、線段AB中垂線上C、AB邊所在直線上 D、AB邊的中線上
8、正方形PQRS對角線交點為M,坐標原點O不在正方形內部,且=(0,3),=(4,0),則=
A、() B、() C、(7,4) D、()
(二) 填空題
9、已知{,|是平面上一個基底,若=+λ,=-2λ-,若,共線,則λ=__________。
10、已知||=,||=1,.=-9,則與的夾角是________。
11、設,是兩個單位向量,它們夾角為600,則(2-).(-3+2)=____________。
12、把函數y=cosx圖象沿平移,得到函數___________的圖象。
(三) 解答題
13、設=(3,1),=(-1,2),⊥,∥,試求滿足+=的的坐標,其中O為坐標原點。
14、若+=(2,-8),-=(-8,16),求、及與夾角θ的余弦值。
15、已知||=,||=3,和夾角為450,求當向量+λ與λ+夾角為銳角時,λ的取值范圍。
五講 復習平面向量參考答案
參考答案
(一)1、C 2、B 3、D 4、B 5、D 6、B 7、A 8、A (二)9、 10、 11、 12、y=sinx+1 (三)13、(11,6) 14、=(-3,4),=(5,-12),
15、λ<,或λ>且λ≠1