1.數(shù)列的同項公式與前n項的和的關(guān)系
( 數(shù)列
的前n項的和為
).
2.等差數(shù)列的通項公式
；
其前n項和公式為
.
3.等比數(shù)列的通項公式
；
其前n項的和公式為
或
.
4.等比差數(shù)列
:
的通項公式為
；
其前n項和公式為
.
1、數(shù)列的概念：數(shù)列是一個定義域為正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2，3，…，n})的特殊函數(shù)，數(shù)列的通項公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。
2.等差數(shù)列的有關(guān)概念：
(1)等差數(shù)列的判斷方法：定義法
或
。
(2)等差中項：若
成等差數(shù)列，則A叫做
與
的等差中項，且
。
3.等差數(shù)列的性質(zhì)：
(1)當(dāng)公差
時，等差數(shù)列的通項公式
是關(guān)于
的一次函數(shù)，且斜率為公差
；前和
是關(guān)于的二次函數(shù)常數(shù)項0.
(2)若公差
，則為遞增等差數(shù)列，若公差
，則為遞減等差數(shù)列，若公差
，則為常數(shù)列。
(3)當(dāng)
時,則有
，
特別地，當(dāng)
時，則有
(4) 若、是等差數(shù)列，
，…也成等差數(shù)列
(5)在等差數(shù)列中，當(dāng)項數(shù)為偶數(shù)
時，
；項數(shù)為奇數(shù)
時，
，
(這里
即
)；
。
(6)若等差數(shù)列、
的前和分別為
、
，且
，則
.
(7)“首正”的遞減等差數(shù)列中，前
項和的最大值是所有非負(fù)項之和；“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前項和的最小值是所有非正項之和。法一：由不等式組
確定出前多少項為非負(fù)(或非正)；法二：因等差數(shù)列前項是關(guān)于的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性
。
(8)如果兩等差數(shù)列有公共項，那么由它們的公共項順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù).
注意：公共項僅是公共的項，其項數(shù)不一定相同，即研究
.
4.等比數(shù)列的有關(guān)概念：
(1)等比數(shù)列的判斷方法：定義法
，其中
或
。
(2)等比數(shù)列的前和
特別提醒：等比數(shù)列前項和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前項和時，首先要判斷公比
是否為1，再由的情況選擇求和公式的形式，當(dāng)不能判斷公比是否為1時，要對分
和
兩種情形討論求解。
(3)等比中項：若成等比數(shù)列，那么A叫做與的等比中項。提醒：不是任何兩數(shù)都有等比中項，只有同號兩數(shù)才存在等比中項，且有兩個
。
5.等比數(shù)列的性質(zhì)：
(1)當(dāng)時，則有
，特別地，當(dāng)時，則有
.
(2) 若是等比數(shù)列，且公比
，則數(shù)列
，…也是等比數(shù)列。
當(dāng)
，且為偶數(shù)時，數(shù)列
，…是常數(shù)數(shù)列0，它不是等比數(shù)列.
(3)若
，則為遞增數(shù)列；
若
, 則為遞減數(shù)列；
若
，則為遞減數(shù)列；
若
, 則為遞增數(shù)列；
若
，則為擺動數(shù)列；
若，則為常數(shù)列.
(4)當(dāng)時，
，這里
，但
，這是等比數(shù)列前項和公式特征，據(jù)此判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列。
(5) 在等比數(shù)列中，當(dāng)項數(shù)為偶數(shù)時，
；項數(shù)為奇數(shù)時，
.
(7)數(shù)列
既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列是非零常數(shù)數(shù)列，故常數(shù)數(shù)列僅是此數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件。
6.數(shù)列的通項的求法：
⑴公式法：①等差數(shù)列通項公式；②等比數(shù)列通項公式。
⑵已知
(即
)求，用作差法：
。
⑶已知
求，用作商法：
。
⑷若
求用累加法：
。
⑸已知
求，用累乘法：
。
⑹已知遞推關(guān)系求，用構(gòu)造法(構(gòu)造等差、等比數(shù)列)。
特別地，(1)形如
、
(
為常數(shù))的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為
的等比數(shù)列后，再求。
(2)形如
的遞推數(shù)列
都可以用倒數(shù)法求通項。
注意：(1)用
求數(shù)列的通項公式時，你注意到此等式成立的條件了嗎？(
，當(dāng)
時，
)；
(2)一般地當(dāng)已知條件中含有與的混合關(guān)系時，常需運用關(guān)系式，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含或的關(guān)系式，然后再求解。
7.數(shù)列求和的常用方法：
(1)公式法：①等差數(shù)列求和公式；②等比數(shù)列求和公式，特別聲明：運用等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢查其公比與1的關(guān)系，必要時需分類討論.；③常用公式：
，
(2)分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將“和式”中“同類項”先合并在一起，再運用公式法求和.
(3)倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數(shù)列的通項與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則常可考慮選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和(這也是等差數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法).
(4)錯位相減法：如果數(shù)列的通項是由一個等差數(shù)列的通項與一個等比數(shù)列的通項相乘構(gòu)成，那么常選用錯位相減法(這也是等比數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法).
(5)裂項相消法：如果數(shù)列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項相消法求和.常用裂項形式有：
①
；
②
；
③
，
；
④
??；
⑤
.(6)通項轉(zhuǎn)換法：先對通項進(jìn)行變形，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在特征，再運用分組求和法求和。