直線與平面平行

1. 直線平面的位置關(guān)系：

(1)，直線在平面內(nèi)，有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，

(2)，直線與平面相交，只有一個(gè)公共點(diǎn)。

(3)，直線與平面平行，無(wú)公共點(diǎn)。

2. 直線與平面平行的判定定理：

　　

3. 直線與平面平行的性質(zhì)定理：

　

[典型例題]

[例1] ，，，求證：。

證：過(guò)作

　　 ∴

　　 過(guò)作

　　 ∴

∴

[例2] 、異面，求證過(guò)與平行的平面有且僅有一個(gè)。

證：存在性，過(guò)上一點(diǎn)作直線

　　 確立平面

　　 ∴

　　 唯一性，假設(shè)存在，，

∴ ，，

由例1

∴ 與已知矛盾

∴ 只有一個(gè)

[例3] 為空間一點(diǎn)，、異面，過(guò)作與、均平行的平面可作個(gè)。

個(gè)或個(gè)，過(guò)存在平面，。

　　　　　 過(guò)存在平面，。

① 或　　　 個(gè)

② 且　　　 個(gè)

可用反證法證明只有一個(gè)。

[例4] 正方形交正方形于，、在對(duì)角線、上，且，求證：平面。

證：過(guò)作交于

　　 過(guò)作交于

　　 ，

又∵ 　

面

[例5] 如圖，異面直線、，，，為中點(diǎn)，，，，，，，求：為中點(diǎn)。

證：連交于，連、

　　

　　

　　

　　

　　 ∴

[例6] 三個(gè)平面兩兩相交不共線，求證三條直線交于一點(diǎn)或兩兩平行。

證：設(shè)，，

　　 ∴ 、

　　 (1)若

　　　　

　　 (2)若

∴ 、、交于一點(diǎn)

[例7] 為　 所在平面外一點(diǎn)，，，且，求證：面。

證：連交于，連，

∴ ∽

∴

在中，

∴ 面

[例8] 、異面直線，為空間任一點(diǎn)，過(guò)作直線與、均相交，這樣的直線可以作多少條。

解：，或無(wú)數(shù)。

　　 過(guò)存在唯一個(gè)平面

　　 過(guò)存在唯一個(gè)平面

　　 ① 若或，有無(wú)數(shù)條

② 若或，且且

　 直線不存在

③ 且，有且只有一條。

　 ，過(guò)、作平面

　 ∴

∴

連與相交

∴ 存在與、均相交

假設(shè)有兩條過(guò)的直線、與、均相交

，確立平面

與、各有一個(gè)交點(diǎn)

∴

同理，與、異面矛盾

∴ 假設(shè)不成立

∴ 只有一條

[例9] 、、兩兩異面，空間與、、，均相交的直線有多少條？

證：存在，，，

　　 存在，，

　　 與、異面，中有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)在、外

　　 每一個(gè)點(diǎn)可作一條線與、均相交

　　　　 ∴ 無(wú)數(shù)條

[模擬試題]

1. 若，，則下列說(shuō)法正確的是(　　 )

A.　　 A.　　　 過(guò)在平面內(nèi)可作無(wú)數(shù)條直線與平行

B. 過(guò)在平面內(nèi)僅可作一條直線與平行

C. 過(guò)在平面內(nèi)可作兩條直線與平行

D. 與的位置有關(guān)

2. ，，則與的關(guān)系為(　　 )

　　 A. 必相交　　　　 B. 必平行　　　 C. 必在內(nèi)　　　 D. 以上均有可能

3. ，過(guò)作與平行的直線可作(　　 )

　　 A. 不存在　　　　 B. 一條　　　　 C. 四條　　　　 D. 無(wú)數(shù)條

4. ，、，，，則有(　　 )

A. 　　　　　　　　　　　　　B. 　　　　

C. 、共面　　　　　　　　　　 D. 、異面，所成角不確定

5. 下列四個(gè)命題

(1)，

(2)，

(3)，

(4)，

正確有(　　 )個(gè)

　　 A. 　　　　　　　B. 　　　　　　C. 　　　　　　D.