3. 直線與平面平行的性質(zhì)定理：
[典型例題]
[例1] ，，，求證：。
證：過作
∴
過作
∴
∴
[例2] 、異面，求證過與平行的平面有且僅有一個。
證：存在性，過上一點作直線
確立平面
∴
唯一性，假設(shè)存在，，
∴ ，，
由例1
∴ 與已知矛盾
∴ 只有一個
[例3] 為空間一點，、異面，過作與、均平行的平面可作個。
個或個，過存在平面，。
過存在平面，。
① 或
個
② 且
個
可用反證法證明只有一個。
[例4] 正方形交正方形于，、在對角線、上，且，求證：平面。
證：過作交于
過作交于
，
又∵
面
[例5] 如圖，異面直線、，，，為中點，，，，，，，求：為中點。
證：連交于，連、
∴
[例6] 三個平面兩兩相交不共線，求證三條直線交于一點或兩兩平行。
證：設(shè)，，
∴ 、
(1)若
(2)若
∴ 、、交于一點
[例7] 為 所在平面外一點，，，且，求證：面。
證：連交于，連，
∴ ∽
∴
在中，
∴ 面
[例8] 、異面直線，為空間任一點，過作直線與、均相交，這樣的直線可以作多少條。
解：，或無數(shù)。
過存在唯一個平面
過存在唯一個平面
① 若或，有無數(shù)條
② 若或，且且
直線不存在
③ 且，有且只有一條。
，過、作平面
∴
∴
連與相交
∴ 存在與、均相交
假設(shè)有兩條過的直線、與、均相交
，確立平面
與、各有一個交點
∴
同理，與、異面矛盾
∴ 假設(shè)不成立
∴ 只有一條
[例9] 、、兩兩異面，空間與、、，均相交的直線有多少條？
證：存在，，，
存在，，
與、異面，中有無數(shù)個點在、外
每一個點可作一條線與、均相交
∴ 無數(shù)條
[模擬試題]
，
，
，
B.
C.
D.
