1．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，
( )
A．1 B．2 C．
D．
2．已知命題P：
命題
恒成立，則下列命題是假命題的是( )
A．
P∨Q B．P∧Q C．P∨Q D．P∧Q
3．已知圓
那么兩圓的位置關(guān)系是 ( )
A．內(nèi)容 B．內(nèi)切 C．相交 D．外切
4．右圖為一個幾何體的三視國科，尺寸如圖所示，則該幾何體的表面積(不考慮接觸點)
為( )
A．6++
B．18++4
|
+
D．32+
5．函數(shù)
的圖象如下圖，則 ( )
A．
B．
C．
D．
6．如果函數(shù)
在區(qū)間D上是“凸函數(shù)”，則對于區(qū)間D內(nèi)任意的
，有
成立. 已知函數(shù)
在區(qū)間[0，π]上是“凸函數(shù)”，則在△ABC中，
的最大值是( )
A．
B．
C．
D．
7．某種游戲中，黑、黃兩個“電子狗”從棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A出發(fā)沿棱向前爬行，每爬完一條棱稱為“爬完一段”，黑“電子狗”爬行的路線是AA1→A1D1→…，黃“電子狗”爬行的路線是AB→BB1→…，它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第
+2段與第段所在直線必須成異面直線(其中是正整數(shù)).設(shè)黑“電子狗”爬完2006段、黃“電子狗”爬完2005段后各自停止在正方體的某個頂點處，這時黑、黃“電子狗”間的距離是
(
)
A.0
B.1 C.
D.
8．如果一對兔子每月能生產(chǎn)一對(一雌一雄)小兔子，而每一對小兔子在它出生的第三個月里，又能生產(chǎn)一對小兔子. 假定在不發(fā)生死亡的情況下，由一對初生的小兔子從第一個月開始，如果用a1表示初生小兔子的對數(shù)，an表示第n個月的兔子總對數(shù)，
那么以下結(jié)論正確的是( )
A．bn是n無關(guān)的常量
B．bn是n有關(guān)的變量，且既有最大值，又有最小值
C．bn是n有關(guān)的變量，且有最小值，但無最大值
D．bn是n有關(guān)的變量，且既有最大值，但無最小值
9．一個高中研究性學習小組對本地區(qū)2002年至2004年快餐公司發(fā)展情況進行了調(diào)查，制成了該地區(qū)快餐公司個數(shù)情況的條形圖和快餐公司盒飯年銷售量的平均數(shù)情況條形圖(如圖)，根據(jù)圖中提供的信息可以得出這三年中該地區(qū)每年平均銷售盒飯__________萬盒。
10．對于函數(shù)y=f(x)，xÎD，若存在常數(shù)c，使對任意x1ÎD，存在唯一的x2ÎD，滿足
，則稱函數(shù)f(x)在D上的均值為c，現(xiàn)已知函數(shù)：① y=2x，② y=x5，③ y=2sinx，④ y=lgx，則滿足在其定義域上均值為2的函數(shù)的序號是__________(填上所有符合要求的函數(shù)的序號)。
11．等比數(shù)列
的公比為
，其前
項的積為
，并且滿足條件
，
，
。給出下列結(jié)論：①
；②
③
的值是 中最大的；④使
成立的最大自然數(shù)等于198。
其中正確的結(jié)論是 .
12．在平面上，我們?nèi)绻靡粭l直線去截正方形的一個角，那么截下的一個直角三角形，按圖所標邊長，由勾股定理有：
設(shè)想正方形換成正方體，把截線換成如圖的截面，這時從正方體上截下三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐O-LMN，如果用
表示三個側(cè)面面積，
表示截面面積，那么你類比得到的結(jié)論是
.
13．在極坐標系中，定點
，點B在直線
上運動，當線段AB最短時，點B的極坐標為__________.
14．考察下列一組不等式：
將上述不等式在左右兩端視為兩項和的情況下加以推廣，使以上的不等式成為推廣不等式的特例，則推廣的不等式為 ．
(本題滿分12分)
15．設(shè)向量
.
|
，求
的值；
(2)求函數(shù)
的最大值及相應(yīng)x的值.
16．(本題滿分12分)
如圖：四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動.
(Ⅰ)點E為BC的中點時，試判斷EF與平面
PAC的位置關(guān)系，并說明理由；
(Ⅱ)證明：無論點E在BC邊的何處，都有PE⊥AF;
(Ⅲ)當BE等于何值時，PA與平面PDE所成角的大小為45°
17．(本小題滿分14分)班主任為了對本班學生的考試成績進行分析，決定從全班25名女同學，15名男同學中隨機抽取一個容量為8的樣本進行分析.
(Ⅰ)如果按性別比例分層抽樣，可以得到多少個不同的樣本？(只要求寫出算式即可，不必計算出結(jié)果).(Ⅱ)隨機抽出8位，他們的數(shù)學分數(shù)從小到大排序是：60、65、70、75、80、85、90、95，物理分數(shù)從小到大排序是：72、77、80、84、88、90、93、95.
(1)若規(guī)定85分以上(包括85分)為優(yōu)秀，求這8位同學中恰有3位同學的數(shù)學和物理分數(shù)均為優(yōu)秀的概率；(2)若這8位同學的數(shù)學、物理分數(shù)對應(yīng)如下表：
|
學生編號 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
數(shù)學分數(shù)x |
60 |
65 |
70 |
75 |
80 |
85 |
90 |
95 |
|
物理分數(shù)y |
72 |
77 |
80 |
84 |
88 |
90 |
93 |
95 |
根據(jù)上表數(shù)據(jù)用變量y與x的相關(guān)系數(shù)或散點圖說明物理成績y與數(shù)學成績x之間是否具有線性相關(guān)性？如果具有線性相關(guān)性，求y與x的線性回歸方程(系數(shù)精確到0.01)；如果不具有線性相關(guān)性，請說明理由.
參考公式：相關(guān)系數(shù)
回歸直線的方程是：
，
其中
對應(yīng)的回歸估計值.
參考數(shù)據(jù)：
|
18．(本小題滿分14分)
已知點C為圓
的圓心，點A(1，0)，P是圓上的動點，點Q在圓的半徑CP上，且
(Ⅰ)當點P在圓上運動時，求點Q的軌跡方程；
(Ⅱ)若直線
與(Ⅰ)中所求點Q
的軌跡交于不同兩點F，H，O是坐標原點，
且
，求△FOH的面積.
19．(本小題滿分14分)
各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和Sn,函數(shù)
(其中p、q均為常數(shù)，且p>q>0)，當
時，函數(shù)f(x)取得極小值，點
均在函數(shù)
的圖象上，(其中f′(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù))
(1)求a1的值；
(2)求數(shù)列的通項公式；
(3)記
的前n項和Tn.
20．(本小題滿分14分)
設(shè)是定義在
上的函數(shù)，若存在
，使得在
上單調(diào)遞增，在
上單調(diào)遞減，則稱為上的單峰函數(shù)，為峰點，包含峰點的區(qū)間為含峰區(qū)間. 對任意的上的單峰函數(shù)，下面研究縮短其含峰區(qū)間長度的方法.
(1)證明：對任意的
，
，若
，則
為含峰區(qū)間；若
，則
為含峰區(qū)間；
(2)對給定的
，證明：存在，滿足
，使得由(1)所確定的含峰區(qū)間的長度不大于
；
高考數(shù)學綜合模擬試卷(一)參考答案
參考答案
|
題號 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
答案 |
B |
B |
C |
C |
A |
D |
D |
A |
9．85 10.②④ 11.
①②④ 12. 
13. 
14. 
15．解：(I)∵
……………………3分
…6分
(Ⅱ)
…………………………8分
=
.………………10分
|
………………………………12分
16．解法1：(I)當點E為BC的中點時，
EF與平面PAC平行.∵在△PBC中，
E、F分別為BC、PB的中點，
∴EF//PC 又EF
平面PAC，
而PC
平面PAC ∴EF//平面PAC.…4分
(II)證明：∵PA⊥平面ABCD，BE平面ABCD，
∴EB⊥PA.又EB⊥AB，AB∩AP=A，AB，AP平面PAB，
∴EB⊥平面PAB，
又AF平面PAB，∴AF⊥BE.
又PA=AB=1，點F是PB的中點，∴AF⊥PB，……………………4分
又∵PB∩BE=B，PB，BE平面PBE，∴AF⊥平面PBE.
∵PE平面PBE，∴AF⊥PE.……………………8分
(Ⅲ)過A作AG⊥DE于G，連PG，又∵DE⊥PA，則DE⊥平面PAG，
于是，平面PAG⊥平面PDE，它們的交線是PG，過A作AM⊥PG，垂足為M，則AM⊥平面PDE，即PA在平面PDE的射影是PM，所以PA與平面PDE所成的角是∠APG=45°.
∴在RtPAG中，PA=AG=1，∴DG=，………………10分
設(shè)BE=x，∵△AGE≌△ABE，則GE=x，CE=－x，
|
+x)2=(－x)2+12，得BE=x=－.……12分
解法二： (II)建立圖示空間直角坐標系，
則P(0，0，1)，B(0，1，0)，
設(shè)
∴AF⊥PE …8分
(Ⅲ)設(shè)平面PDE的法向量為
而
=(0，0，1)依題意PA與平面PDE所成角為45°，
所以sin45°=
，
，
得BE=x=－，或BE=x=+(舍).……………………12分
17．解：(I)應(yīng)選女生25×
=5(個)，男生15×=3(個)，可以得到不同的樣本個數(shù)是
.……4分(II)(1)這8位同學中恰有3位同學的數(shù)學和物理分數(shù)均為優(yōu)秀，則需要先從物理的4個優(yōu)秀分數(shù)中選出3個與數(shù)學優(yōu)秀分數(shù)對應(yīng)，種數(shù)是
，然后剩下的5個數(shù)學分數(shù)和物理分數(shù)任意對應(yīng)，種數(shù)是
。根據(jù)乘法原理，滿足條件的種數(shù)是
…………………………………………6分
這8位同學的物理分數(shù)和數(shù)學分數(shù)分別對應(yīng)的種數(shù)共有
.…………7分
故所求的概率
………………………………10分
|
.可以看出，物理與數(shù)學成績是高度正相關(guān).若以數(shù)學成績x為橫坐標，
物理成績y為縱坐標做散點圖如下
從散點圖可以看出這些點大至分布
在一條直線附近，并且在逐步上升，
故物理與數(shù)學成績是高度正相關(guān).
………………………………12分
設(shè)y與x線性回歸方程y=bx+a、
根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，可以計算出
=0.65，a=85－0.65×77.5=34.63，
所以y與x的回歸方程是
.……………………14分
18． 解：(1)由題意MQ是線段AP的垂直平分線，于是
|CP|=|QC|+|QP|=|QC|+|QA|=2>|CA|=2，于是點 Q的軌跡是以點C，A為焦點，半焦距c=1，長半軸a=的橢圓，短半軸
點Q的軌跡E方程是：
.…………………………4分
(2)設(shè)F(x1，y1)H(x2，y2)，則由
，
消去y得
…………………………6分
又點O到直線FH的距離d=1，
19． 解：(I)解：
令
當x=變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
|
|
(0， ) |
|
(，1) |
1 |
(1，+∞) |
|
f′(x) |
+ |
0 |
－ |
0 |
+ |
|
f(x) |
 |
極大值 |
 |
極小值 |
 |
所以f(x)在x=1處取得最小值，即a1=1.………………………………5分
(II)
，
由于a1=1，所以
………6分
……………………①.………………………………8分
又
…………………………②。
①－②得
，所以{an}是以a1=1，公差為的等差數(shù)列，
.………………………………10分
(Ⅲ)
20. (1)證明:設(shè)為的峰點,則由單峰函數(shù)定義可知, 在上單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞減,
當時,假設(shè)
,則<,從而
這與矛盾,所以
,即為含峰區(qū)間.
當時,假設(shè)
,則
,從而
這與矛盾,所以,即為含峰區(qū)間………………………….(7分)
(2)證明：由(1)的結(jié)論可知:
當時, 含峰區(qū)間的長度為
；
當時, 含峰區(qū)間的長度為
；
對于上述兩種情況，由題意得
①
由①得
即
，
又因為，所以
②
將②代入①得
③
由①和③解得
所以這時含峰區(qū)間的長度
，
即存在使得所確定的含峰區(qū)間的長度不大于………………………………(14分)
