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19.(本小題滿分14分)
各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和Sn,函數(shù)
(其中p、q均為常數(shù),且p>q>0),當時,函數(shù)f(x)取得極小值,點均在函數(shù)的圖象上,(其中f′(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù))
(1)求a1的值;
(2)求數(shù)列的通項公式;
(3)記的前n項和Tn.
參考答案
題號 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
答案 |
B |
B |
C |
C |
A |
D |
D |
A |
9.85 10.②④ 11. ①②④ 12.
13. 14.
15.解:(I)∵……………………3分
…6分
(Ⅱ)…………………………8分
=.………………10分
|
16.解法1:(I)當點E為BC的中點時,
EF與平面PAC平行.∵在△PBC中,
E、F分別為BC、PB的中點,
∴EF//PC 又EF平面PAC,
而PC平面PAC ∴EF//平面PAC.…4分
(II)證明:∵PA⊥平面ABCD,BE平面ABCD,
∴EB⊥PA.又EB⊥AB,AB∩AP=A,AB,AP平面PAB,
∴EB⊥平面PAB,
又AF平面PAB,∴AF⊥BE.
又PA=AB=1,點F是PB的中點,∴AF⊥PB,……………………4分
又∵PB∩BE=B,PB,BE平面PBE,∴AF⊥平面PBE.
∵PE平面PBE,∴AF⊥PE.……………………8分
(Ⅲ)過A作AG⊥DE于G,連PG,又∵DE⊥PA,則DE⊥平面PAG,
于是,平面PAG⊥平面PDE,它們的交線是PG,過A作AM⊥PG,垂足為M,則AM⊥平面PDE,即PA在平面PDE的射影是PM,所以PA與平面PDE所成的角是∠APG=45°.
∴在RtPAG中,PA=AG=1,∴DG=,………………10分
設(shè)BE=x,∵△AGE≌△ABE,則GE=x,CE=-x,
|
解法二: (II)建立圖示空間直角坐標系,
則P(0,0,1),B(0,1,0),
設(shè)
∴AF⊥PE …8分
(Ⅲ)設(shè)平面PDE的法向量為
而=(0,0,1)依題意PA與平面PDE所成角為45°,
所以sin45°=,
,
得BE=x=-,或BE=x=+(舍).……………………12分
17.解:(I)應(yīng)選女生25×=5(個),男生15×=3(個),可以得到不同的樣本個數(shù)是.……4分(II)(1)這8位同學中恰有3位同學的數(shù)學和物理分數(shù)均為優(yōu)秀,則需要先從物理的4個優(yōu)秀分數(shù)中選出3個與數(shù)學優(yōu)秀分數(shù)對應(yīng),種數(shù)是,然后剩下的5個數(shù)學分數(shù)和物理分數(shù)任意對應(yīng),種數(shù)是。根據(jù)乘法原理,滿足條件的種數(shù)是…………………………………………6分
這8位同學的物理分數(shù)和數(shù)學分數(shù)分別對應(yīng)的種數(shù)共有.…………7分
故所求的概率………………………………10分
|
物理成績y為縱坐標做散點圖如下
從散點圖可以看出這些點大至分布
在一條直線附近,并且在逐步上升,
故物理與數(shù)學成績是高度正相關(guān).
………………………………12分
設(shè)y與x線性回歸方程y=bx+a、
根據(jù)所給的數(shù)據(jù),可以計算出
=0.65,a=85-0.65×77.5=34.63,
所以y與x的回歸方程是.……………………14分
18. 解:(1)由題意MQ是線段AP的垂直平分線,于是
|CP|=|QC|+|QP|=|QC|+|QA|=2>|CA|=2,于是點 Q的軌跡是以點C,A為焦點,半焦距c=1,長半軸a=的橢圓,短半軸
點Q的軌跡E方程是:.…………………………4分
(2)設(shè)F(x1,y1)H(x2,y2),則由,
消去y得
…………………………6分
又點O到直線FH的距離d=1,
19. 解:(I)解:
令
當x=變化時,f′(x),f(x)的變化情況如下表:
|
(0,) |
|
(,1) |
1 |
(1,+∞) |
f′(x) |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
f(x) |
|
極大值 |
|
極小值 |
|
所以f(x)在x=1處取得最小值,即a1=1.………………………………5分
(II),
由于a1=1,所以………6分
……………………①.………………………………8分
又…………………………②。
①-②得
,所以{an}是以a1=1,公差為的等差數(shù)列,
.………………………………10分
(Ⅲ)
20. (1)證明:設(shè)為的峰點,則由單峰函數(shù)定義可知, 在上單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞減,
當時,假設(shè),則<,從而這與矛盾,所以,即為含峰區(qū)間.
當時,假設(shè),則,從而這與矛盾,所以,即為含峰區(qū)間………………………….(7分)
(2)證明:由(1)的結(jié)論可知:
當時, 含峰區(qū)間的長度為;
當時, 含峰區(qū)間的長度為;
對于上述兩種情況,由題意得 ①
由①得即,
又因為,所以 ②
將②代入①得 ③
由①和③解得
所以這時含峰區(qū)間的長度,
即存在使得所確定的含峰區(qū)間的長度不大于………………………………(14分)