[例1] (07年廣東)已知函數(shù)的定義域?yàn)?i>M,g(x)=的定義域?yàn)?i>N,則M∩N=
(A) (B) (C) (D)
[解析] M={x|x<1},N={x|x>-1},M∩N={x|-1<x<1}.答案為C.
[說明] 考查了函數(shù)的定義域.
[例2] (07年全國(guó))設(shè),函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之差為,則( )
A. B. C. D.
[解析] .答案為D.
[說明] 對(duì)數(shù)函數(shù)的最值問題.
[例3](07年安徽)下列函數(shù)中,反函數(shù)是其自身的函數(shù)為 ( )
(A) (B)
(C) (D)
[解析]在下列函數(shù)中,反函數(shù)是其自身的函數(shù)為,選D.
[說明] 考查了反函數(shù)的求法.
[例4] (07年安徽)定義在R上的函數(shù)既是奇函數(shù),又是周期函數(shù),是它的一個(gè)正周期.若將方程在閉區(qū)間上的根的個(gè)數(shù)記為,則可能為
(A)0 (B)1 (C)3 (D)5
[解析],,
∴,則可能為5,選D。
[說明] 此題有函數(shù)的奇偶性,周期性,還和方程的根聯(lián)系在一起.有一定的綜合性.
[例5](07年北京)對(duì)于函數(shù)①f(x)=lg(|x-2|+1),②f(x)=(x-2)2,③f(x)=cos(x+2),判斷如下三個(gè)命題的真假:
命題甲:f(x+2)是偶函數(shù);
命題乙:f(x)在(-∞,2)上是減函數(shù),在(2,+∞)上是增函數(shù);
命題丙:f(x+2)-f(x)在(-∞,+∞)上是增函數(shù).
能使命題甲、乙、丙均為真的所有函數(shù)的序號(hào)是
A.①③ B.①②
C.③ D.②
[解析] ①不滿足丙,排除A、B.③不滿足甲,C排除.
答案為D.
[說明] 三個(gè)函數(shù)綜合在一塊考查了它們性質(zhì),可謂是題小量不小啊.
[例6](07年廣東)客車從甲地以60km/h的速度行駛1小時(shí)到達(dá)乙地,在乙地停留了半小時(shí),然后以80 km/h的速度行駛1小時(shí)到達(dá)丙地,下列描述客車從甲地出發(fā),經(jīng)過乙地,最后到達(dá)丙地所經(jīng)過的路程s與時(shí)間t之間的關(guān)系圖象中,正確的是 ( )
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[解析] 客車共走140 km,用時(shí)2.5 h,因此排除A、D,而B中在乙地休息時(shí)沒有顯示出來.答案為C.
[說明] 此題以圖象說明路程-時(shí)間的關(guān)系,只要圖看仔細(xì)了,應(yīng)該不會(huì)出錯(cuò).屬于低難度題.
[例7](07年湖北)為了預(yù)防流感,某學(xué)校對(duì)教室用藥熏消毒法進(jìn)行
消毒. 已知藥物釋放過程中,室內(nèi)每立方米空氣中的含藥
量y(毫克)與時(shí)間t(小時(shí))成正比;藥物釋放完畢后,
y與t的函數(shù)關(guān)系式為(a為常數(shù)),
如圖所示,根據(jù)圖中提供的信息,回答下列問題:
(Ⅰ)從藥物釋放開始,每立方米空氣中的含
藥量y(毫克)與時(shí)間t(小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系式
為 .
(Ⅱ)據(jù)測(cè)定,當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低
到0.25毫克以下時(shí),學(xué)生方可進(jìn)教室,那從藥物釋放
開始,至少需要經(jīng)過 小時(shí)后,學(xué)生才能回到教室.
[分析](Ⅰ)兩曲線交于點(diǎn)(0.1,1),故t∈(0,0.1]時(shí),y=10t;t∈[0.1,+∞)時(shí),將(0.1,1)代入,得故所求函數(shù)關(guān)系為:
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:當(dāng)t∈[0.1,+∞)時(shí),y為t的減函數(shù).
令.即小時(shí),也就是36分鐘后,學(xué)生才能回到教室.
[說明] 此題考查了數(shù)學(xué)建模在實(shí)際問題上的應(yīng)用.有一定的區(qū)分度.
[例8] (07年北京) 如圖,有一塊半橢圓形鋼板,其半軸長(zhǎng)
為,短半軸長(zhǎng)為,計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀,下
底是半橢圓的短軸,上底的端點(diǎn)在橢圓上,記,梯形面積為.
(I)求面積以為自變量的函數(shù)式,并寫出其定義域;
(II)求面積的最大值.
[解答](I)依題意,以的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系(如圖),則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.點(diǎn)的縱坐標(biāo)滿足方程,
解得,,
所以,
,定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383928_1/image053.gif">.
(II)記,
則,.
令,得.
因?yàn)楫?dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,
所以 是的最大值.
因此,當(dāng)時(shí),也取得最大值,最大值為.
即梯形面積的最大值為.
[說明] 該題以橢圓為載體,以函數(shù)思想為靈魂,以不等式、導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)等為工具,非常自然地將解析幾何與導(dǎo)數(shù)、函數(shù)、方程、不等式、三角函數(shù)等重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)有機(jī)交匯融為一體,無矯揉造作之嫌,是近年來較為成功的試題之一.
[例9] (07年上海) 已知函數(shù),常數(shù).
(1)討論函數(shù)的奇偶性,并說明理由;
(2)若函數(shù)在上為增函數(shù),求的取值范圍.
[解答] (1)當(dāng)時(shí),,
對(duì)任意,,
為偶函數(shù).
當(dāng)時(shí),,
取,得 ,
,
函數(shù)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).
(2)解法一:設(shè),
,
要使函數(shù)在上為增函數(shù),必須恒成立.
,即恒成立.
又,.
的取值范圍是.
解法二:當(dāng)時(shí),,顯然在為增函數(shù).
當(dāng)時(shí),反比例函數(shù)在為增函數(shù),
在為增函數(shù).
當(dāng)時(shí),同解法一.
[說明] 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)問題,尤其是單調(diào)性的定義法證明更要引起注意.
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