1. 已知為實數(shù)集,,則( ).
A. B. C. D.
2. 若復數(shù),則( ).
A. B. C.1 D.
3. 設(shè)是圖中的四邊形內(nèi)的點或四邊形邊界上的點,則的最大值是( ).
A. B. C. D.
4. 如圖,一個簡單空間幾何體的三視圖其主視圖與左視圖是邊長為2的正三角形、俯視圖輪廓為正方形,則其體積是( ).
A. B . C. D .
5. 設(shè)a、b、c分別是△ABC中∠A、∠B、∠C所對邊的邊長,則直線與的位置關(guān)系是( ).
A.平行 B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直
6. 如圖,圓弧型聲波DFE從坐標原點O向外傳播. 若D是DFE弧與x 軸的交點,設(shè)OD = x),圓弧型聲波DFE在傳播過程中掃過平行四邊形OABC的面積為(圖中陰影部分),則函數(shù)的圖象大致是( ).
7. 已知點F1、F2分別是橢圓的左、右焦點,過F1且垂直于x軸的直線與橢圓交于A、B兩點,若△ABF2為正三角形,則該橢圓的離心率是( ).
A. B. C. D.
8. 已知函數(shù),則方程的實根共有( ).
A.5個 B.6個 C.7個 D.8個
9. 的展開式中的常數(shù)項是 (用數(shù)字作答).
10.用一根長為12m的鋁合金條做成一個“目”字形窗戶的框架(不計損耗),要使這個窗戶通過的陽光最充足,則框架的長與寬應為 .
11.函數(shù)與的圖象所圍成封閉圖形的面積為 .
12.考察下列一組不等式:
.
將上述不等式在左右兩端仍為兩項和的情況下加以推廣,使以上的不等式成為推廣不等式的特例,則推廣的不等式可以是___________________.
13.若框圖所給的程序運行的結(jié)果為S=132,那么判斷框中
應填入的關(guān)于k的判斷條件是 .
14.等差數(shù)列的前項和為,公差. 若存在正整數(shù),使得,則當()時,有(填“>”、“<”、“=”).
15.(本小題滿分12分)
已知:,().
(1) 求關(guān)于的表達式,并求的最小正周期;
(2) 若時的最小值為5,求的值.
16.(本小題滿分12分)
如圖,四邊形為矩形,且,,為上的動點.
(1) 當為的中點時,求證:;
(2) 設(shè),在線段上存在這樣的點E,使得二面角的大小為. 試確定點E的位置.
17、(本小題滿分14分)
設(shè)數(shù)列的前項和為,且;數(shù)列為等差數(shù)列,且,.
(1) 求數(shù)列的通項公式;
(2) 若,為數(shù)列的前項和. 求證:.
18.(本小題滿分14分)
已知動圓過定點,且與直線相切.
(1) 求動圓的圓心軌跡的方程;
(2) 是否存在直線,使過點(0,1),并與軌跡交于兩點,且滿足?若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.
19.(本小題滿分14分)
為了對2006年佛山市中考成績進行分析,在60分以上的全體同學中隨機抽出8位,他們的數(shù)學分數(shù)(已折算為百分制)從小到大排是60、65、70、 75、80、85、 90、95,物理分數(shù)從小到大排是72、 77、 80、84、88、90、93、95.
(1) 若規(guī)定85分(包括85分)以上為優(yōu)秀,求這8位同學中恰有3位同學的數(shù)學和物理分數(shù)均為優(yōu)秀的概率;
(2) 若這8位同學的數(shù)學、物理、化學分數(shù)事實上對應如下表:
學生編號 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
數(shù)學分數(shù)x |
60 |
65 |
70 |
75 |
80 |
85 |
90 |
95 |
物理分數(shù)y |
72 |
77 |
80 |
84 |
88 |
90 |
93 |
95 |
化學分數(shù)z |
67 |
72 |
76 |
80 |
84 |
87 |
90 |
92 |
(2) 用變量y與x、z與x的相關(guān)系數(shù)說明物理與數(shù)學、化學與數(shù)學的相關(guān)程度;
(3) 求y與x、z與x的線性回歸方程(系數(shù)精確到0.01),并用相關(guān)指數(shù)比較所求回歸模型的效果.
參考數(shù)據(jù):,,,,,,,,,.
20.(本小題滿分14分)
已知函數(shù)
(1) 若在上單調(diào)遞增,求的取值范圍;
(2) 若定義在區(qū)間D上的函數(shù)對于區(qū)間D上的任意兩個值總有以下不等式成立,則稱函數(shù)為區(qū)間D上的“凹函數(shù)”.
試證當時,為“凹函數(shù)”.
高考理科數(shù)學模擬試題(理科1)參考答案
數(shù)學試題參考答案和評分標準(理科1)
一、選擇題(每題5分,共40分)
序號 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
答案 |
A |
B |
D |
B |
C |
A |
D |
C |
二、填空題(每題5分,共30分)
9.. 10.3m與1.5m. 11..
12.(或為正整數(shù)).注:填以及是否注明字母的取值符號和關(guān)系,均不扣分;
若填或可給3分.
13.. 14.<.
三、解答題(本大題共6小題,共80分)
15. 解:(1) ……………………………………………………2分
………………………………………………………………………………………………4分
. …………………………………………………………………………………………………………6分
的最小正周期是. …………………………………………………………………………………………………7分
(2) ∵,∴ …………………………………………………………………8分
∴當即時,函數(shù)取得最小值是. ………………………10分
∵,∴. …………………………………………………………………………………………………12分
16. 方法一:(2) 證明:當為中點時,,從而為等腰直角三角形,則,同理可得,∴,于是,…2分
又,且,∴,…………………………………………4分
∴,又,∴. …………………………………………………6分
(也可以利用三垂線定理證明,但必需指明三垂線定理)
(2) 如圖過作于,連,則,
∴為二面角的平面角. ………8分
設(shè),則.
于是 …………………………………………………………10分
,有
解之得。
點在線段BC上距B點的處. …………………………………………………………………………12分
方法二、向量方法.以為原點,所在直線為
軸,建立空間直角坐標系,如圖. …………………………1分
(1)不妨設(shè),則,
從而,………………………4分
于是,
所以所以 …………………………………………………………………………………6分
(2)設(shè),則,
則.………………………………………………………………………………8分
易知向量為平面的一個法向量.設(shè)平面的法向量為,則應有
即解之得,令則,,
從而,………………………………………………………………………………………………………10分
依題意,即,解之得(舍去),
所以點在線段BC上距B點的處.…………………………………………………………………12分
17. 解:(1)由,令,則,又,所以.
,則. ……………………………………………………………………………………2分
當時,由,可得.
即. …………………………………………………………………………………………………………………………4分
所以是以為首項,為公比的等比數(shù)列,于是. …………5分
(2)數(shù)列為等差數(shù)列,公差,可得. ………………7分
從而. ……………………………………………………………………………………8分
∴ ……………10分
∴. …………………11分
從而. …………………………………………………………………………14分
18.(1)如圖,設(shè)為動圓圓心, ,過點作直線的垂線,垂足為,由題意知:, ………………………………………………2分
即動點到定點與定直線的距離相等,由拋物線的定義知,點的軌跡為拋物線,其中為焦點,為準線, ∴ 動點的軌跡方程為 ………………………5分
(2)由題可設(shè)直線的方程為,
由得
△, ………………………………………………………………………………7分
設(shè),,則,……………………………………………9分
由,即 ,,于是,……11分
即,,
,解得或(舍去),…………………………………13分
又, ∴ 直線存在,其方程為 ………………………………………14分
19. 解:(1)這8位同學中恰有3位同學的數(shù)學和物理分數(shù)均為優(yōu)秀,則需要先從物理的4個優(yōu)秀分數(shù)中選出3個與數(shù)學優(yōu)秀分數(shù)對應,種數(shù)是(或),然后將剩下的5個數(shù)學分數(shù)和物理分數(shù)任意對應,種數(shù)是。根據(jù)乘法原理,滿足條件的種數(shù)是。 …………………………………………………………………………………………………………………………………4分
這8位同學的物理分數(shù)和數(shù)學分數(shù)分別對應的種數(shù)共有。 ………………………………5分
故所求的概率. ………………………………………………………………………………6分
(2) 變量y與x、z與x的相關(guān)系數(shù)分別是
、.
可以看出,物理與數(shù)學、化學與數(shù)學的成績都是高度正相關(guān). …………………………8分
(3) 設(shè)y與x、z與x的線性回歸方程分別是、.
根據(jù)所給的數(shù)據(jù),可以計算出,
. ……………………………………………………10分
所以y與x和z與x的回歸方程分別是
、. …………………………………………………………11分
又y與x、z與x的相關(guān)指數(shù)是、. ……13分
故回歸模型比回歸模型的擬合的效果好. …14分
20. (Ⅰ)由,得 ……………………………………2分
函數(shù)為上單調(diào)函數(shù). 若函數(shù)為上單調(diào)增函數(shù),則在上恒成立,即不等式在上恒成立. 也即在上恒成立. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………4分
令,上述問題等價于,而為在上的減函數(shù),則,于是為所求. …………………………………………………………6分
(Ⅱ)證明:由 得
……………………………………………………………………………7分
………………………………………………………………8分
而 ① ………………………………………10分
又, ∴ ② …………11分
∵ ∴,
∵ ∴ ③ ……………………………………………………………………13分
由①、②、③得
即,從而由凹函數(shù)的定義可知函數(shù)為凹函數(shù). …………14分