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14.等差數列的前項和為,公差. 若存在正整數,使得,則當()時,有(填“>”、“<”、“=”).
數學試題參考答案和評分標準(理科1)
一、選擇題(每題5分,共40分)
序號 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
答案 |
A |
B |
D |
B |
C |
A |
D |
C |
二、填空題(每題5分,共30分)
9.. 10.3m與1.5m. 11..
12.(或為正整數).注:填以及是否注明字母的取值符號和關系,均不扣分;
若填或可給3分.
13.. 14.<.
三、解答題(本大題共6小題,共80分)
15. 解:(1) ……………………………………………………2分
………………………………………………………………………………………………4分
. …………………………………………………………………………………………………………6分
的最小正周期是. …………………………………………………………………………………………………7分
(2) ∵,∴ …………………………………………………………………8分
∴當即時,函數取得最小值是. ………………………10分
∵,∴. …………………………………………………………………………………………………12分
16. 方法一:(2) 證明:當為中點時,,從而為等腰直角三角形,則,同理可得,∴,于是,…2分
又,且,∴,…………………………………………4分
∴,又,∴. …………………………………………………6分
(也可以利用三垂線定理證明,但必需指明三垂線定理)
(2) 如圖過作于,連,則,
∴為二面角的平面角. ………8分
設,則.
于是 …………………………………………………………10分
,有
解之得。
點在線段BC上距B點的處. …………………………………………………………………………12分
方法二、向量方法.以為原點,所在直線為
軸,建立空間直角坐標系,如圖. …………………………1分
(1)不妨設,則,
從而,………………………4分
于是,
所以所以 …………………………………………………………………………………6分
(2)設,則,
則.………………………………………………………………………………8分
易知向量為平面的一個法向量.設平面的法向量為,則應有
即解之得,令則,,
從而,………………………………………………………………………………………………………10分
依題意,即,解之得(舍去),
所以點在線段BC上距B點的處.…………………………………………………………………12分
17. 解:(1)由,令,則,又,所以.
,則. ……………………………………………………………………………………2分
當時,由,可得.
即. …………………………………………………………………………………………………………………………4分
所以是以為首項,為公比的等比數列,于是. …………5分
(2)數列為等差數列,公差,可得. ………………7分
從而. ……………………………………………………………………………………8分
∴ ……………10分
∴. …………………11分
從而. …………………………………………………………………………14分
18.(1)如圖,設為動圓圓心, ,過點作直線的垂線,垂足為,由題意知:, ………………………………………………2分
即動點到定點與定直線的距離相等,由拋物線的定義知,點的軌跡為拋物線,其中為焦點,為準線, ∴ 動點的軌跡方程為 ………………………5分
(2)由題可設直線的方程為,
由得
△, ………………………………………………………………………………7分
設,,則,……………………………………………9分
由,即 ,,于是,……11分
即,,
,解得或(舍去),…………………………………13分
又, ∴ 直線存在,其方程為 ………………………………………14分
19. 解:(1)這8位同學中恰有3位同學的數學和物理分數均為優(yōu)秀,則需要先從物理的4個優(yōu)秀分數中選出3個與數學優(yōu)秀分數對應,種數是(或),然后將剩下的5個數學分數和物理分數任意對應,種數是。根據乘法原理,滿足條件的種數是。 …………………………………………………………………………………………………………………………………4分
這8位同學的物理分數和數學分數分別對應的種數共有?! ?分
故所求的概率. ………………………………………………………………………………6分
(2) 變量y與x、z與x的相關系數分別是
、.
可以看出,物理與數學、化學與數學的成績都是高度正相關. …………………………8分
(3) 設y與x、z與x的線性回歸方程分別是、.
根據所給的數據,可以計算出,
. ……………………………………………………10分
所以y與x和z與x的回歸方程分別是
、. …………………………………………………………11分
又y與x、z與x的相關指數是、. ……13分
故回歸模型比回歸模型的擬合的效果好. …14分
20. (Ⅰ)由,得 ……………………………………2分
函數為上單調函數. 若函數為上單調增函數,則在上恒成立,即不等式在上恒成立. 也即在上恒成立. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………4分
令,上述問題等價于,而為在上的減函數,則,于是為所求. …………………………………………………………6分
(Ⅱ)證明:由 得
……………………………………………………………………………7分
………………………………………………………………8分
而 ① ………………………………………10分
又, ∴ ② …………11分
∵ ∴,
∵ ∴ ③ ……………………………………………………………………13分
由①、②、③得
即,從而由凹函數的定義可知函數為凹函數. …………14分