1.是虛數(shù)單位,( )
A. B. C. D.
2.設(shè)變量滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最大值為( )
A.4 B.11 C.12 D.14
3.“”是“”的( )
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
4.設(shè)雙曲線的離心率為,且它的一條準(zhǔn)線與拋物線的準(zhǔn)線重合,則此雙曲線的方程為( )
A. B.
C. D.
5.函數(shù)的反函數(shù)是( )
A. B.
C. D.
6.設(shè)為兩條直線,為兩個(gè)平面,下列四個(gè)命題中,正確的命題是( )
A.若與所成的角相等,則
B.若,,則
C.若,則
D.若,,則
7.在上定義的函數(shù)是偶函數(shù),且,若在區(qū)間上是減函數(shù),則( )
A.在區(qū)間上是增函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù)
B.在區(qū)間上是增函數(shù),在區(qū)間上是減函數(shù)
C.在區(qū)間上是減函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù)
D.在區(qū)間上是減函數(shù),在區(qū)間上是減函數(shù)
8.設(shè)等差數(shù)列的公差不為0,.若是與的等比中項(xiàng),則( )
A.2 B.4 C.6 D.8
9.設(shè)均為正數(shù),且,,.則( )
A. B. C. D.
10.設(shè)兩個(gè)向量和,其中為實(shí)數(shù).若,中央電視臺(tái)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
高中畢業(yè)班數(shù)學(xué)全國統(tǒng)一考試試題
數(shù)學(xué)(理工類)
第Ⅱ卷
11.若的二項(xiàng)展開式中的系數(shù)為,則 (用數(shù)字作答).
12.一個(gè)長方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上,且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長分別為1,2,3,則此球的表面積為 .
13.設(shè)等差數(shù)列的公差是2,前項(xiàng)的和為,則 .
14.已知兩圓和相交于兩點(diǎn),則直線的方程是 .
15.如圖,在中,,是邊上一點(diǎn),,則 .
16.如圖,用6種不同的顏色給圖中的4個(gè)格子涂色,每個(gè)格子涂一種顏色,要求最多使用3種顏色且相鄰的兩個(gè)格子顏色不同,則不同的涂色方法共有 種(用數(shù)字作答).
17.(本小題滿分12分)
已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的最小正周期;
(Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值.
18.(本小題滿分12分)
已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個(gè)紅球和3個(gè)黑球,乙盒內(nèi)有大小相同的2個(gè)紅球和4個(gè)黑球.現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒內(nèi)各任取2個(gè)球.
(Ⅰ)求取出的4個(gè)球均為黑球的概率;
(Ⅱ)求取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率;
(Ⅲ)設(shè)為取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
19.(本小題滿分12分)
如圖,在四棱錐中,底面,,,是的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明;
(Ⅱ)證明平面;
(Ⅲ)求二面角的大小.
20.(本小題滿分12分)
已知函數(shù),其中.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.
21.(本小題滿分14分)
在數(shù)列中,,其中.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求數(shù)列的前項(xiàng)和;
(Ⅲ)證明存在,使得對(duì)任意均成立.
22.(本小題滿分14分)
設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為是橢圓上的一點(diǎn),,原點(diǎn)到直線的距離為.
(Ⅰ)證明;
(Ⅱ)設(shè)為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),,過原點(diǎn)作直線的垂線,垂足為,求點(diǎn)的軌跡方程.
高中畢業(yè)班數(shù)學(xué)全國統(tǒng)一考試試題 數(shù)學(xué)(理工類) 本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分,共150分,考試用時(shí)120分鐘.第Ⅰ卷1至2頁,第Ⅱ卷3至10頁.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回. 祝各位考生考試順利! 第Ⅰ卷 參考公式: .如果事件互斥,那么 球的表面積公式 .如果事件相互獨(dú)立,那么 其中表示球的半徑 參考答案
數(shù)學(xué)(理工類)參考解答
一、選擇題:本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算.每小題5分,滿分50分.
1.C 2.B 3.A 4.D 5.C
6.D 7.B 8.B 9.A 10.A
二、填空題:本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算.每小題4分,滿分24分.
11.2 12. 13.3
14. 15. 16.390
三、解答題
17.本小題考查三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式、特殊角三角函數(shù)值、兩角差公式、倍角公式、函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查基本運(yùn)算能力.滿分12分.
(Ⅰ)解:.
因此,函數(shù)的最小正周期為.
(Ⅱ)解法一:因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384004_1/image127.gif">在區(qū)間上為增函數(shù),在區(qū)間上為減函數(shù),又,,,
故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,最小值為.
解法二:作函數(shù)在長度為一個(gè)周期的區(qū)間上的圖象如下:
由圖象得函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,最小值為.
18.本小題主要考查互斥事件、相互獨(dú)立事件、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.滿分12分.
(Ⅰ)解:設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為黑球”為事件,“從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為黑球”為事件.由于事件相互獨(dú)立,且,.
故取出的4個(gè)球均為黑球的概率為.
(Ⅱ)解:設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為黑球;從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球中,1個(gè)是紅球,1個(gè)是黑球”為事件,“從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球中,1個(gè)是紅球,1個(gè)是黑球;從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為黑球”為事件.由于事件互斥,
且,.
故取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率為.
(Ⅲ)解:可能的取值為.由(Ⅰ),(Ⅱ)得,,
.從而.
的分布列為
|
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
的數(shù)學(xué)期望.
19.本小題考查直線與直線垂直、直線與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力.滿分12分.
(Ⅰ)證明:在四棱錐中,因底面,平面,故.
,平面.
而平面,.
(Ⅱ)證明:由,,可得.
是的中點(diǎn),.
由(Ⅰ)知,,且,所以平面.
而平面,.
底面在底面內(nèi)的射影是,,.
又,綜上得平面.
(Ⅲ)解法一:過點(diǎn)作,垂足為,連結(jié).則(Ⅱ)知,平面,在平面內(nèi)的射影是,則.
因此是二面角的平面角.
由已知,得.設(shè),
可得.
在中,,,
則.
在中,.
所以二面角的大小是.
解法二:由題設(shè)底面,平面,則平面平面,交線為.
過點(diǎn)作,垂足為,故平面.過點(diǎn)作,垂足為,連結(jié),故.因此是二面角的平面角.
由已知,可得,設(shè),
可得.
,.
于是,.
在中,.
所以二面角的大小是.
20.本小題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,兩個(gè)函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算能力及分類討論的思想方法.滿分12分.
(Ⅰ)解:當(dāng)時(shí),,,
又,.
所以,曲線在點(diǎn)處的切線方程為,
即.
(Ⅱ)解:.
由于,以下分兩種情況討論.
(1)當(dāng)時(shí),令,得到,.當(dāng)變化時(shí),的變化情況如下表:
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
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極小值 |
|
極大值 |
|
所以在區(qū)間,內(nèi)為減函數(shù),在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù).
函數(shù)在處取得極小值,且,
函數(shù)在處取得極大值,且.
(2)當(dāng)時(shí),令,得到,當(dāng)變化時(shí),的變化情況如下表:
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
極大值 |
|
極小值 |
|
所以在區(qū)間,內(nèi)為增函數(shù),在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù).
函數(shù)在處取得極大值,且.
函數(shù)在處取得極小值,且.
21.本小題以數(shù)列的遞推關(guān)系式為載體,主要考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式、數(shù)列求和、不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法,考查歸納、推理、運(yùn)算及靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力.滿分14分.
(Ⅰ)解法一:,
,
.
由此可猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
以下用數(shù)學(xué)歸納法證明.
(1)當(dāng)時(shí),,等式成立.
(2)假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立,即,
那么
.
這就是說,當(dāng)時(shí)等式也成立.根據(jù)(1)和(2)可知,等式對(duì)任何都成立.
解法二:由,,
可得,
所以為等差數(shù)列,其公差為1,首項(xiàng)為0,故,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
(Ⅱ)解:設(shè), ?、?/p>
?、?/p>
當(dāng)時(shí),①式減去②式,
得,
.
這時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和.
當(dāng)時(shí),.這時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和.
(Ⅲ)證明:通過分析,推測(cè)數(shù)列的第一項(xiàng)最大,下面證明:
. ?、?/p>
由知,要使③式成立,只要,
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384004_1/image284.gif">
.
所以③式成立.
因此,存在,使得對(duì)任意均成立.
22.本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、求曲線的方程等基礎(chǔ)知識(shí),考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法及推理、運(yùn)算能力.滿分14分.
(Ⅰ)證法一:由題設(shè)及,,不妨設(shè)點(diǎn),其中.由于點(diǎn)在橢圓上,有,即.
解得,從而得到.
直線的方程為,整理得.
由題設(shè),原點(diǎn)到直線的距離為,即,
將代入上式并化簡得,即.
證法二:同證法一,得到點(diǎn)的坐標(biāo)為.
過點(diǎn)作,垂足為,易知,故.
由橢圓定義得,又,
所以,
解得,而,得,即.
(Ⅱ)解法一:設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為.
當(dāng)時(shí),由知,直線的斜率為,所以直線的方程為,或,其中,.
點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組
將①式代入②式,得,
整理得,
于是,.
由①式得
.
由知.將③式和④式代入得,
.
將代入上式,整理得.
當(dāng)時(shí),直線的方程為,的坐標(biāo)滿足方程組
所以,.
由知,即,
解得.
這時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)仍滿足.
綜上,點(diǎn)的軌跡方程為 .
解法二:設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線的方程為,由,垂足為,可知直線的方程為.
記(顯然),點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組
由①式得. ③
由②式得. ?、?/p>
將③式代入④式得.
整理得,
于是. ⑤
由①式得. ?、?/p>
由②式得. ?、?/p>
將⑥式代入⑦式得,
整理得,
于是. ?、?/p>
由知.將⑤式和⑧式代入得,
.
將代入上式,得.
所以,點(diǎn)的軌跡方程為.
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