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13.設(shè)等差數(shù)列的公差是2,前項(xiàng)的和為,則 .
數(shù)學(xué)(理工類(lèi))參考解答
一、選擇題:本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算.每小題5分,滿(mǎn)分50分.
1.C 2.B 3.A 4.D 5.C
6.D 7.B 8.B 9.A 10.A
二、填空題:本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算.每小題4分,滿(mǎn)分24分.
11.2 12. 13.3
14. 15. 16.390
三、解答題
17.本小題考查三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式、特殊角三角函數(shù)值、兩角差公式、倍角公式、函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查基本運(yùn)算能力.滿(mǎn)分12分.
(Ⅰ)解:.
因此,函數(shù)的最小正周期為.
(Ⅱ)解法一:因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384004_1/image127.gif">在區(qū)間上為增函數(shù),在區(qū)間上為減函數(shù),又,,,
故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,最小值為.
解法二:作函數(shù)在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的區(qū)間上的圖象如下:
由圖象得函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,最小值為.
18.本小題主要考查互斥事件、相互獨(dú)立事件、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.滿(mǎn)分12分.
(Ⅰ)解:設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為黑球”為事件,“從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為黑球”為事件.由于事件相互獨(dú)立,且,.
故取出的4個(gè)球均為黑球的概率為.
(Ⅱ)解:設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為黑球;從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球中,1個(gè)是紅球,1個(gè)是黑球”為事件,“從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球中,1個(gè)是紅球,1個(gè)是黑球;從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為黑球”為事件.由于事件互斥,
且,.
故取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率為.
(Ⅲ)解:可能的取值為.由(Ⅰ),(Ⅱ)得,,
.從而.
的分布列為
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0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
的數(shù)學(xué)期望.
19.本小題考查直線與直線垂直、直線與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力.滿(mǎn)分12分.
(Ⅰ)證明:在四棱錐中,因底面,平面,故.
,平面.
而平面,.
(Ⅱ)證明:由,,可得.
是的中點(diǎn),.
由(Ⅰ)知,,且,所以平面.
而平面,.
底面在底面內(nèi)的射影是,,.
又,綜上得平面.
(Ⅲ)解法一:過(guò)點(diǎn)作,垂足為,連結(jié).則(Ⅱ)知,平面,在平面內(nèi)的射影是,則.
因此是二面角的平面角.
由已知,得.設(shè),
可得.
在中,,,
則.
在中,.
所以二面角的大小是.
解法二:由題設(shè)底面,平面,則平面平面,交線為.
過(guò)點(diǎn)作,垂足為,故平面.過(guò)點(diǎn)作,垂足為,連結(jié),故.因此是二面角的平面角.
由已知,可得,設(shè),
可得.
,.
于是,.
在中,.
所以二面角的大小是.
20.本小題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,兩個(gè)函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算能力及分類(lèi)討論的思想方法.滿(mǎn)分12分.
(Ⅰ)解:當(dāng)時(shí),,,
又,.
所以,曲線在點(diǎn)處的切線方程為,
即.
(Ⅱ)解:.
由于,以下分兩種情況討論.
(1)當(dāng)時(shí),令,得到,.當(dāng)變化時(shí),的變化情況如下表:
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0 |
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0 |
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極小值 |
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極大值 |
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所以在區(qū)間,內(nèi)為減函數(shù),在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù).
函數(shù)在處取得極小值,且,
函數(shù)在處取得極大值,且.
(2)當(dāng)時(shí),令,得到,當(dāng)變化時(shí),的變化情況如下表:
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0 |
|
0 |
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極大值 |
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極小值 |
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所以在區(qū)間,內(nèi)為增函數(shù),在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù).
函數(shù)在處取得極大值,且.
函數(shù)在處取得極小值,且.
21.本小題以數(shù)列的遞推關(guān)系式為載體,主要考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式、數(shù)列求和、不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法,考查歸納、推理、運(yùn)算及靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.滿(mǎn)分14分.
(Ⅰ)解法一:,
,
.
由此可猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
以下用數(shù)學(xué)歸納法證明.
(1)當(dāng)時(shí),,等式成立.
(2)假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立,即,
那么
.
這就是說(shuō),當(dāng)時(shí)等式也成立.根據(jù)(1)和(2)可知,等式對(duì)任何都成立.
解法二:由,,
可得,
所以為等差數(shù)列,其公差為1,首項(xiàng)為0,故,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
(Ⅱ)解:設(shè), ①
?、?/p>
當(dāng)時(shí),①式減去②式,
得,
.
這時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和.
當(dāng)時(shí),.這時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和.
(Ⅲ)證明:通過(guò)分析,推測(cè)數(shù)列的第一項(xiàng)最大,下面證明:
. ?、?/p>
由知,要使③式成立,只要,
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384004_1/image284.gif">
.
所以③式成立.
因此,存在,使得對(duì)任意均成立.
22.本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、求曲線的方程等基礎(chǔ)知識(shí),考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法及推理、運(yùn)算能力.滿(mǎn)分14分.
(Ⅰ)證法一:由題設(shè)及,,不妨設(shè)點(diǎn),其中.由于點(diǎn)在橢圓上,有,即.
解得,從而得到.
直線的方程為,整理得.
由題設(shè),原點(diǎn)到直線的距離為,即,
將代入上式并化簡(jiǎn)得,即.
證法二:同證法一,得到點(diǎn)的坐標(biāo)為.
過(guò)點(diǎn)作,垂足為,易知,故.
由橢圓定義得,又,
所以,
解得,而,得,即.
(Ⅱ)解法一:設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為.
當(dāng)時(shí),由知,直線的斜率為,所以直線的方程為,或,其中,.
點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組
將①式代入②式,得,
整理得,
于是,.
由①式得
.
由知.將③式和④式代入得,
.
將代入上式,整理得.
當(dāng)時(shí),直線的方程為,的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組
所以,.
由知,即,
解得.
這時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)仍滿(mǎn)足.
綜上,點(diǎn)的軌跡方程為 .
解法二:設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線的方程為,由,垂足為,可知直線的方程為.
記(顯然),點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組
由①式得. ?、?/p>
由②式得. ?、?/p>
將③式代入④式得.
整理得,
于是. ?、?/p>
由①式得. ?、?/p>
由②式得. ⑦
將⑥式代入⑦式得,
整理得,
于是. ?、?/p>
由知.將⑤式和⑧式代入得,
.
將代入上式,得.
所以,點(diǎn)的軌跡方程為.
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