1.已知點(diǎn)A為雙曲線的左頂點(diǎn),點(diǎn)B和點(diǎn)C在雙曲線的右支上,是等邊三角形,則的面積是
(A) (B) (C) (D)
2.平面上整點(diǎn)(縱、橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn))到直線的距離中的最小值是
(A) (B) (C) (D)
3.若實(shí)數(shù)x, y滿足(x + 5)2+(y – 12)2=142,則x2+y2的最小值為
(A) 2 (B) 1 (C) (D)
4.直線橢圓相交于A,B兩點(diǎn),該圓上點(diǎn)P,使得⊿PAB面積等于3,這樣的點(diǎn)P共有
(A) 1個(gè) (B) 2個(gè) (C) 3個(gè) (D) 4個(gè)
5.設(shè)a,b∈R,ab≠0,那么直線ax-y+b=0和曲線bx2+ay2=ab的圖形是
A B C D
6.過拋物線y2=8(x+2)的焦點(diǎn)F作傾斜角為60o的直線,若此直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn),弦AB的中垂線與x軸交于P點(diǎn),則線段PF的長(zhǎng)等于
A. B. C. D.
7.方程表示的曲線是
A. 焦點(diǎn)在x軸上的橢圓 B. 焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線
C. 焦點(diǎn)在y軸上的橢圓 D. 焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線
8.在橢圓中,記左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,短軸上方的端點(diǎn)為B。若該橢圓的離心率是,則= 。
9.橢圓的短軸長(zhǎng)等于 。
10.設(shè)F1,F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),P是橢圓上的點(diǎn),且|PF1| : |PF2|=2 : 1,則三角形PF1F2的面積等于______________.
11.在平面直角坐標(biāo)系XOY中,給定兩點(diǎn)M(-1,2)和N(1,4),點(diǎn)P在X軸上移動(dòng),當(dāng)取最大值時(shí),點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為___________________。
12.若正方形ABCD的一條邊在直線上,另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上.則該正方形面積的最小值為 .
13.已知:和:。試問:當(dāng)且僅當(dāng)a,b滿足什么條件時(shí),對(duì)任意一點(diǎn)P,均存在以P為頂點(diǎn)、與外切、與內(nèi)接的平行四邊形?并證明你的結(jié)論。
14.設(shè)曲線C1:(a為正常數(shù))與C2:y2=2(x+m)在x軸上方公有一個(gè)公共點(diǎn)P。
(1)實(shí)數(shù)m的取值范圍(用a表示);
(2)O為原點(diǎn),若C1與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A,當(dāng)0<a<時(shí),試求⊿OAP的面積的最大值(用a表示)。
15.已知點(diǎn)和拋物線上兩點(diǎn)使得,求點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍.
16.一張紙上畫有半徑為R的圓O和圓內(nèi)一定點(diǎn)A,且OA=a. 拆疊紙片,使圓周上某一點(diǎn)A/ 剛好與A點(diǎn)重合,這樣的每一種拆法,都留下一條直線折痕,當(dāng)A/取遍圓周上所有點(diǎn)時(shí),求所有折痕所在直線上點(diǎn)的集合.
17.在平面直角坐標(biāo)系xoy中,給定三點(diǎn),點(diǎn)P到直線BC的距離是該點(diǎn)到直線AB,AC距離的等比中項(xiàng)。
(Ⅰ)求點(diǎn)P的軌跡方程;
(Ⅱ)若直線L經(jīng)過的內(nèi)心(設(shè)為D),且與P點(diǎn)的軌跡恰好有3個(gè)公共點(diǎn),求L的斜率k的取值范圍。
18.過拋物線上的一點(diǎn)A(1,1)作拋物線的切線,分別交軸于D,交軸于B.點(diǎn)C在拋物線上,點(diǎn)E在線段AC上,滿足;點(diǎn)F在線段BC上,滿足,且,線段CD與EF交于點(diǎn)P.當(dāng)點(diǎn)C在拋物線上移動(dòng)時(shí),求點(diǎn)P的軌跡方程.
08屆高考數(shù)學(xué)解析幾何綜合練習(xí)答案
1.C 2.B 3.B 4.B 5.B 6.A 7.C 8.90º 9.
10.設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸、短軸的長(zhǎng)及焦矩分別為2a、2b、2c,則由其方程知a=3,b=2,c=,故,|PF1|+|PF2|=2a=6,又已知[PF1|:|PF2|=2:1,故可得|PFl|=4,|PF2|=2.在△PFlF2中,三邊之長(zhǎng)分別為2,4,2,而22+42=(2)2,可見△PFlF2是直角三角形,且兩直角邊的長(zhǎng)為2和4,故△PFlF2的面積=4.
11. 解:經(jīng)過M、N兩點(diǎn)的圓的圓心在線段MN的垂直平分線y=3-x上,設(shè)圓心為
S(a,3-a),則圓S的方程為:
對(duì)于定長(zhǎng)的弦在優(yōu)弧上所對(duì)的圓周角會(huì)隨著圓的半徑減小而角度增大,所以,當(dāng)取最大值時(shí),經(jīng)過M,N,P三點(diǎn)的圓S必與X軸相切于點(diǎn)P,即圓S的方程中的a值必須滿足解得 a=1或a=-7。
即對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)分別為,而過點(diǎn)M,N,的圓的半徑大于過點(diǎn)M,N,P的圓的半徑,所以,故點(diǎn)P(1,0)為所求,所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1。
12.解:設(shè)正方形的邊AB在直線上,而位于拋物線上的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為、,則CD所在直線的方程將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立,得
令正方形邊長(zhǎng)為則①
在上任取一點(diǎn)(6,,5),它到直線的距離為②.
①、②聯(lián)立解得或
13.利用極坐標(biāo)解決:以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸為極軸建立極坐標(biāo)系,則橢圓的極坐標(biāo)方程為------(1)
顯知此平行四邊形ABCD必為菱形,設(shè)A,則B
代入(1)式相加:
由于該菱形必與單位圓相切,故原點(diǎn)到AB的距離為1,
∴,從而,∴
14. 解:(1)由 消去y得: ① 設(shè),問題(1)化為方程①在x∈(-a,a)上有唯一解或等根. 只需討論以下三種情況: 1°△=0得:,此時(shí)xp=-a2,當(dāng)且僅當(dāng)-a<-a2<a,即0<a<1時(shí)適合; 2°f (a)f (-a)<0,當(dāng)且僅當(dāng)-a<m<a; 3°f (-a)=0得m=a,此時(shí)xp=a-2a2,當(dāng)且僅當(dāng)-a<a-2a2<a,即0<a<1時(shí)適合. f (a)=0得m=-a,此時(shí)xp=-a-2a2,由于-a-2a2<-a,從而m≠-a. 綜上可知,當(dāng)0<a<1時(shí),或-a<m≤a; 當(dāng)a≥1時(shí),-a<m<a.……………………………………………… 10分
(2)△OAP的面積 ∵0<a<,故-a<m≤a時(shí),0<<a, 由唯一性得 顯然當(dāng)m=a時(shí),xp取值最?。捎?i>xp>0,從而yp=取值最大,此時(shí),∴. 當(dāng)時(shí),xp=-a2,yp=,此時(shí). 下面比較與的大?。? 令,得 故當(dāng)0<a≤時(shí),≤,此時(shí). 當(dāng)時(shí),,此時(shí).……… 20分
15.解:設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,點(diǎn)坐標(biāo)為.
顯然,故
由于,所以
從而,消去,注意到得:
由解得:或.
當(dāng)時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為;當(dāng)時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為,均滿足是題意.故點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是或.
16.解:如圖,以O為原點(diǎn),OA所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系,則有A(a,0).設(shè)折疊時(shí),⊙O上點(diǎn)A/()與點(diǎn)A重合,而折痕為直線MN,則 MN為線段AA/的中垂線.設(shè)P(x,y)為MN上任一點(diǎn),則|PA/|=|PA| 5分 ∴ 即 10分 ∴ 可得: ∴≤1 (此不等式也可直接由柯西不等式得到) 15分 平方后可化為 ≥1, 即所求點(diǎn)的集合為橢圓圓=1外(含邊界)的部分. 20分
17. 解:(Ⅰ)直線AB、AC、BC的方程依次為。點(diǎn)到AB、AC、BC的距離依次為。依設(shè),,即,化簡(jiǎn)得點(diǎn)P的軌跡方程為
圓S: ......5分
(Ⅱ)由前知,點(diǎn)P的軌跡包含兩部分
圓S: ①
與雙曲線T: ②
因?yàn)锽(-1,0)和C(1,0)是適合題設(shè)條件的點(diǎn),所以點(diǎn)B和點(diǎn)C在點(diǎn)P的軌跡上,且點(diǎn)P的軌跡曲線S與T的公共點(diǎn)只有B、C兩點(diǎn)。
的內(nèi)心D也是適合題設(shè)條件的點(diǎn),由,解得,且知它在圓S上。直線L經(jīng)過D,且與點(diǎn)P的軌跡有3個(gè)公共點(diǎn),所以,L的斜率存在,設(shè)L的方程為
③
(i)當(dāng)k=0時(shí),L與圓S相切,有唯一的公共點(diǎn)D;此時(shí),直線平行于x軸,表明L與雙曲線有不同于D的兩個(gè)公共點(diǎn),所以L恰好與點(diǎn)P的軌跡有3個(gè)公共點(diǎn)。......10分
(ii)當(dāng)時(shí),L與圓S有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。這時(shí),L與點(diǎn)P的軌跡恰有3個(gè)公共點(diǎn)只能有兩種情況:
情況1:直線L經(jīng)過點(diǎn)B或點(diǎn)C,此時(shí)L的斜率,直線L的方程為。代入方程②得,解得。表明直線BD與曲線T有2個(gè)交點(diǎn)B、E;直線CD與曲線T有2個(gè)交點(diǎn)C、F。
故當(dāng)時(shí),L恰好與點(diǎn)P的軌跡有3個(gè)公共點(diǎn)?! ?......15分
情況2:直線L不經(jīng)過點(diǎn)B和C(即),因?yàn)長(zhǎng)與S有兩個(gè)不同的交點(diǎn),所以L與雙曲線T有且只有一個(gè)公共點(diǎn)。即方程組有且只有一組實(shí)數(shù)解,消去y并化簡(jiǎn)得
該方程有唯一實(shí)數(shù)解的充要條件是 ④
或 ⑤
解方程④得,解方程⑤得。
綜合得直線L的斜率k的取值范圍是有限集?! ?......20分
18.解一:過拋物線上點(diǎn)A的切線斜率為:切線AB的方程為的坐標(biāo)為是線段AB的中點(diǎn). ………………5分
設(shè)、、、,則由知,
得
∴EF所在直線方程為:
化簡(jiǎn)得…①…………10分
當(dāng)時(shí),直線CD的方程為:…②
聯(lián)立①、②解得,消去,得P點(diǎn)軌跡方程為:………15分
當(dāng)時(shí),EF方程為:方程為:,聯(lián)立解得也在P點(diǎn)軌跡上.因C與A不能重合,∴
∴所求軌跡方程為………………………………………………20分
解二:由解一知,AB的方程為故D是AB的中點(diǎn). ……5分
令則因?yàn)镃D為的中線,
而是的重心. ………………………………………………………………………10分
設(shè)因點(diǎn)C異于A,則故重心P的坐標(biāo)為
消去得
故所求軌跡方程為………………………………………………20分
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