14. 解:(1)由
消去y得:
①
設,問題(1)化為方程①在x∈(-a,a)上有唯一解或等根.
只需討論以下三種情況:
1°△=0得:,此時xp=-a2,當且僅當-a<-a2<a,即0<a<1時適合;
2°f (a)f
(-a)<0,當且僅當-a<m<a;
3°f (-a)=0得m=a,此時xp=a-2a2,當且僅當-a<a-2a2<a,即0<a<1時適合.
f (a)=0得m=-a,此時xp=-a-2a2,由于-a-2a2<-a,從而m≠-a.
綜上可知,當0<a<1時,或-a<m≤a;
當a≥1時,-a<m<a.……………………………………………… 10分
(2)△OAP的面積
∵0<a<,故-a<m≤a時,0<<a,
由唯一性得
顯然當m=a時,xp取值最?。捎趚p>0,從而yp=取值最大,此時,∴.
當時,xp=-a2,yp=,此時.
下面比較與的大?。? 令,得
故當0<a≤時,≤,此時.
當時,,此時.……… 20分