5.設(shè)函數(shù)f(x)=x3－－2x+5.若對(duì)任意x∈［－1，2］，都有f(x)>m，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.
解析：(x)=3x2－x－2=0，x=1，－，
f(－1)=5，f(－)=5，f(1)=3，f(2)=7.
∴m<3.
答案：m∈(－∞，)
●典例剖析
[例1] (2004年天津，20)已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2－3x在x=±1處取得極值.
(1)討論f(1)和f(－1)是函數(shù)f(x)的極大值還是極小值；
(2)過點(diǎn)A(0，16)作曲線y=f(x)的切線，求此切線方程.
剖析：(1)分析x=±1處的極值情況，關(guān)鍵是分析x=±1左右(x)的符號(hào).
(2)要分清點(diǎn)A(0，16)是否在曲線上.
解：(1)(x)=3ax2+2bx－3，依題意，(1)=(－1)=0，即
解得a=1，b=0.
∴f(x)=x3－3x，(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1).
令(x)=0，得x=－1，x=1.
若x∈(－∞，－1)∪(1，+∞)，則(x)＞0，
故f(x)在(－∞，－1)上是增函數(shù)，f(x)在(1，+∞)上是增函數(shù).
若x∈(－1，1)，則(x)＜0，故f(x)在(－1，1)上是減函數(shù).
所以f(－1)=2是極大值，f(1)=－2是極小值.
(2)曲線y=x3－3x，點(diǎn)A(0，16)不在曲線上，設(shè)切點(diǎn)M(x0，y0)，則y0=x03－3x.
∵(x0)=3x02－3，
∴切線方程為y－y0=3(x02－1)(x－x0).
代入A(0，16)得16－x03+3x0=3(x02－1)(0－x0).
解得x0=－2，∴M(－2，－2)，切線方程為9x－y+16=0.
評(píng)述：過已知點(diǎn)求切線，當(dāng)點(diǎn)不在曲線上時(shí)，求切點(diǎn)的坐標(biāo)成了解題的關(guān)鍵.
[例2] (2004年天津，21)已知函數(shù)f(x)=ax3+cx+d(a≠0)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x=1時(shí)，f(x)取得極值－2.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極大值；
(2)證明：對(duì)任意x1、x2∈(－1，1)，不等式|f(x1)－f(x2)|＜4恒成立.
剖析：∵x∈R且f(x)是奇函數(shù)，
∴f(0)=0.
又x=1是極值點(diǎn)，∴(1)=0，由此可得函數(shù)的解析式.
(1)解：由奇函數(shù)定義，
應(yīng)有f(－x)=－f(x)，x∈R，－ax3－cx+d=－ax3－cx－d，∴d=0.
因此f(x)=ax3+cx，(x)=3ax2+c.
由題意知
解得a=1，c=－3.
∴f(x)=x3－3x，(x)=3x3－3=3(x－1)(x+1)，(－1)=(1)=0.
當(dāng)x∈(－∞，－1)時(shí)，(x)＞0，故f(x)在單調(diào)區(qū)間(－∞，－1)上是增函數(shù)，
當(dāng)x∈(－1，1)時(shí)，(x)＜0，故f(x)在單調(diào)區(qū)間(－1，1)上是減函數(shù)，
當(dāng)x∈(1，+∞)時(shí)，(x)＞0，故f(x)在單調(diào)區(qū)間(1，+∞)上是增函數(shù).
∴(－∞，－1)和(1，+∞)為增區(qū)間；
(－1，1)為減區(qū)間，x=－1時(shí)，f(－1)=2為極大值，
x=－1時(shí)，f(1)=－2為極小值.
(2)f(－1)=2，f(1)=－2.
∵f(x)在(－1，1)上是減函數(shù)，
∴對(duì)任意x1、x2∈(－1，1)，有－2<f(x1)<2，－2<f(x2)<2，
－4<f(x1)－f(x2)<4，即|f(x1)－f(x2)|<4.
評(píng)述：由奇函數(shù)定義可知當(dāng)x=0時(shí)，則有f(0)=0，即函數(shù)過原點(diǎn).對(duì)于本題的第(2)問，用數(shù)形結(jié)合法較為直觀.
[例3] 設(shè)函數(shù)f(x)=x3+mx2+nx+p在(－∞，0］上是增函數(shù)，在［0，2］上是減函數(shù)，x=2是方程f(x)=0的一個(gè)根.
(1)求n的值；
(2)求證：f(1)≥2.
剖析：由題知x=0是極值點(diǎn)，那么另一個(gè)極值點(diǎn)在哪兒呢?是x=2嗎?不一定.會(huì)在x=2的哪一側(cè)呢?
解：(1)(x)=3x2+2mx+n.
∵f(x)在(－∞，0］上是增函數(shù)，在［0，2］上是減函數(shù)，
∴當(dāng)x=0時(shí)，f(x)取到極大值.
∴(0)=0.∴n=0.
(2)∵f(2)=0，∴p=－4(m+2)，
(x)=3x2+2mx=0的兩個(gè)根分別為x1=0，x2=－，
∵函數(shù)f(x)在［0，2］上是減函數(shù)，
∴x2=－≥2.∴m≤－3.
∴f(1)=m+p+1=m－4(m+2)+1=－7－3m≥2.
評(píng)述：此題學(xué)生往往錯(cuò)誤地認(rèn)為x=2是另一個(gè)極值點(diǎn).再證f(1)≥2時(shí)，首先將f(1)化成關(guān)于m的式子，知道m(xù)的范圍，便可證之.
[例4] 對(duì)于函數(shù)y=f(x)(x∈D)若同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件，則稱f(x)為D上的閉函數(shù).
①f(x)在D上為單調(diào)函數(shù)；
②存在閉區(qū)間［a，b］D，使f(x)在［a，b］上的值域也是［a，b］.
(1)求閉函數(shù)y=－x3符合上述條件的區(qū)間［a，b］；
(2)若f(x)=x3－3x2－9x+4，判斷f(x)是否為閉函數(shù).
剖析：這是個(gè)知識(shí)遷移題，這類問題一般是考查學(xué)生的類比猜想能力、探索問題的能力.
解：(1)∵y=－x3，∴y′=－3x2≤0.
∴函數(shù)y=－x3為減函數(shù).
故即
∴所求閉區(qū)間為［－1，1］.
(2)(x)=3x2－6x－9.
由(x)≥0，得x≥3或x≤－1.
由(x)≤0，得－1≤x≤3.
∴f(x)在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù).故f(x)不是閉函數(shù).
評(píng)述：這類問題是近年高考命題的一個(gè)亮點(diǎn)，很能考查學(xué)生的分析問題、探索問題的潛在的能力.
●闖關(guān)訓(xùn)練
夯實(shí)基礎(chǔ)
(x)=3x2－3b，當(dāng)b>0，0<
<1時(shí)，適合題意.