13.3 導(dǎo)數(shù)的綜合問題
●知識(shí)梳理
1.若函數(shù)f(x)有導(dǎo)數(shù),它的極值可在方程(x)=0的根處來考查,求函數(shù)y=f(x)的極值方法如下:
(1)求導(dǎo)數(shù)(x);
(2)求方程(x)=0的根;
(3)檢查(x)在方程(x)=0的根的左右的值的符號(hào),如果左負(fù)右正,那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)根處取得極小值;如果左正右負(fù),那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)根處取得極大值.
2.設(shè)y=f(x)是一多項(xiàng)式函數(shù),比較函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]內(nèi)所有的極值,以及f(a)和f(b),最大者為最大值,最小者為最小值.
●點(diǎn)擊雙基
1.函數(shù)f(x)=x3-3x+1在閉區(qū)間[-3,0]上的最大值、最小值分別是
A.1,-1 B.1,-17
C.3,-17 D.9,-19
解析:(x)=3x2-3=0,x=±1,f(-3)=-17,f(0)=1,f(1)=-1,f(-1)=3.
答案:C
2.函數(shù)f(x)=x3-3bx+3b在(0,1)內(nèi)有極小值,則
A.0<b<1 B.b<1
C.b>0 D.b<
解析: (x)=3x2-3b,當(dāng)b>0,0<<1時(shí),適合題意.
答案:A
3.已知f(x)=2x3-6x2+m(m為常數(shù))在[-2,2]上有最大值3,那么此函數(shù)在[-2,2]上的最小值是
A.-37 B.-29
C.-5 D.以上都不對(duì)
解析:(x)=6x(x-2),f(x)在(-2,0)上為增函數(shù),在(0,2)上為減函數(shù)的,x=0時(shí),f(x)=m最大.
∴m=3,f(-2)=-37,f(2)=-5.
答案:A
4.已知函數(shù)y=x3+ax2+bx+27在x=-1處有極大值,在x=3處有極小值,則a+b=________.
解析:y′=3x2+2ax+b,-1、3是3x2+2ax+b=0的兩根,∴a=-3,b=-9.
答案:-12
5.設(shè)函數(shù)f(x)=x3--2x+5.若對(duì)任意x∈[-1,2],都有f(x)>m,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.
解析:(x)=3x2-x-2=0,x=1,-,
f(-1)=5,f(-)=5,f(1)=3,f(2)=7.
∴m<3.
答案:m∈(-∞,)
●典例剖析
[例1] (2004年天津,20)已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1處取得極值.
(1)討論f(1)和f(-1)是函數(shù)f(x)的極大值還是極小值;
(2)過點(diǎn)A(0,16)作曲線y=f(x)的切線,求此切線方程.
剖析:(1)分析x=±1處的極值情況,關(guān)鍵是分析x=±1左右(x)的符號(hào).
(2)要分清點(diǎn)A(0,16)是否在曲線上.
解:(1)(x)=3ax2+2bx-3,依題意,(1)=(-1)=0,即
解得a=1,b=0.
∴f(x)=x3-3x,(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1).
令(x)=0,得x=-1,x=1.
若x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),則(x)>0,
故f(x)在(-∞,-1)上是增函數(shù),f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù).
若x∈(-1,1),則(x)<0,故f(x)在(-1,1)上是減函數(shù).
所以f(-1)=2是極大值,f(1)=-2是極小值.
(2)曲線y=x3-3x,點(diǎn)A(0,16)不在曲線上,設(shè)切點(diǎn)M(x0,y0),則y0=x03-3x.
∵(x0)=3x02-3,
∴切線方程為y-y0=3(x02-1)(x-x0).
代入A(0,16)得16-x03+3x0=3(x02-1)(0-x0).
解得x0=-2,∴M(-2,-2),切線方程為9x-y+16=0.
評(píng)述:過已知點(diǎn)求切線,當(dāng)點(diǎn)不在曲線上時(shí),求切點(diǎn)的坐標(biāo)成了解題的關(guān)鍵.
[例2] (2004年天津,21)已知函數(shù)f(x)=ax3+cx+d(a≠0)是R上的奇函數(shù),當(dāng)x=1時(shí),f(x)取得極值-2.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極大值;
(2)證明:對(duì)任意x1、x2∈(-1,1),不等式|f(x1)-f(x2)|<4恒成立.
剖析:∵x∈R且f(x)是奇函數(shù),
∴f(0)=0.
又x=1是極值點(diǎn),∴(1)=0,由此可得函數(shù)的解析式.
(1)解:由奇函數(shù)定義,
應(yīng)有f(-x)=-f(x),x∈R,-ax3-cx+d=-ax3-cx-d,∴d=0.
因此f(x)=ax3+cx,(x)=3ax2+c.
由題意知
解得a=1,c=-3.
∴f(x)=x3-3x,(x)=3x3-3=3(x-1)(x+1),(-1)=(1)=0.
當(dāng)x∈(-∞,-1)時(shí),(x)>0,故f(x)在單調(diào)區(qū)間(-∞,-1)上是增函數(shù),
當(dāng)x∈(-1,1)時(shí),(x)<0,故f(x)在單調(diào)區(qū)間(-1,1)上是減函數(shù),
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),(x)>0,故f(x)在單調(diào)區(qū)間(1,+∞)上是增函數(shù).
∴(-∞,-1)和(1,+∞)為增區(qū)間;
(-1,1)為減區(qū)間,x=-1時(shí),f(-1)=2為極大值,
x=-1時(shí),f(1)=-2為極小值.
(2)f(-1)=2,f(1)=-2.
∵f(x)在(-1,1)上是減函數(shù),
∴對(duì)任意x1、x2∈(-1,1),有-2<f(x1)<2,-2<f(x2)<2,
-4<f(x1)-f(x2)<4,即|f(x1)-f(x2)|<4.
評(píng)述:由奇函數(shù)定義可知當(dāng)x=0時(shí),則有f(0)=0,即函數(shù)過原點(diǎn).對(duì)于本題的第(2)問,用數(shù)形結(jié)合法較為直觀.
[例3] 設(shè)函數(shù)f(x)=x3+mx2+nx+p在(-∞,0]上是增函數(shù),在[0,2]上是減函數(shù),x=2是方程f(x)=0的一個(gè)根.
(1)求n的值;
(2)求證:f(1)≥2.
剖析:由題知x=0是極值點(diǎn),那么另一個(gè)極值點(diǎn)在哪兒呢?是x=2嗎?不一定.會(huì)在x=2的哪一側(cè)呢?
解:(1)(x)=3x2+2mx+n.
∵f(x)在(-∞,0]上是增函數(shù),在[0,2]上是減函數(shù),
∴當(dāng)x=0時(shí),f(x)取到極大值.
∴(0)=0.∴n=0.
(2)∵f(2)=0,∴p=-4(m+2),
(x)=3x2+2mx=0的兩個(gè)根分別為x1=0,x2=-,
∵函數(shù)f(x)在[0,2]上是減函數(shù),
∴x2=-≥2.∴m≤-3.
∴f(1)=m+p+1=m-4(m+2)+1=-7-3m≥2.
評(píng)述:此題學(xué)生往往錯(cuò)誤地認(rèn)為x=2是另一個(gè)極值點(diǎn).再證f(1)≥2時(shí),首先將f(1)化成關(guān)于m的式子,知道m的范圍,便可證之.
[例4] 對(duì)于函數(shù)y=f(x)(x∈D)若同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件,則稱f(x)為D上的閉函數(shù).
①f(x)在D上為單調(diào)函數(shù);
②存在閉區(qū)間[a,b]D,使f(x)在[a,b]上的值域也是[a,b].
(1)求閉函數(shù)y=-x3符合上述條件的區(qū)間[a,b];
(2)若f(x)=x3-3x2-9x+4,判斷f(x)是否為閉函數(shù).
剖析:這是個(gè)知識(shí)遷移題,這類問題一般是考查學(xué)生的類比猜想能力、探索問題的能力.
解:(1)∵y=-x3,∴y′=-3x2≤0.
∴函數(shù)y=-x3為減函數(shù).
故即
∴所求閉區(qū)間為[-1,1].
(2)(x)=3x2-6x-9.
由(x)≥0,得x≥3或x≤-1.
由(x)≤0,得-1≤x≤3.
∴f(x)在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù).故f(x)不是閉函數(shù).
評(píng)述:這類問題是近年高考命題的一個(gè)亮點(diǎn),很能考查學(xué)生的分析問題、探索問題的潛在的能力.
●闖關(guān)訓(xùn)練
夯實(shí)基礎(chǔ)
1.函數(shù)y=x4-8x2+2在[-1,3]上的最大值為
A.11 B.2 C.12 D.10
解析:y′=4x3-16x=4x(x2-4).
由y′=0及x∈[-1,3]知x=0或x=2.
根據(jù)單調(diào)性知f(x)max=f(3)=11.
答案:A
2.函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,其中a、b、c為實(shí)數(shù),當(dāng)a2-3b<0時(shí),f(x)是
A.增函數(shù) B.減函數(shù)
C.常數(shù) D.既不是增函數(shù)也不是減函數(shù)
解析:(x)=3x2+2ax+b,Δ=4a2-12b<0,
∴(x)>0,f(x)是增函數(shù).
答案:A
3.y=3x-x3的極大值是________,極小值是________.
解析:f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上遞減,在(-1,1)上遞增,f(-1)=-2為極小值,f(1)=2為極大值.
答案:2 -2
4.(2005年北京西城區(qū)模擬題)如果函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示,給出下列判斷:
①函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(-3,-)內(nèi)單調(diào)遞增;
②函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(-,3)內(nèi)單調(diào)遞減;
③函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(4,5)內(nèi)單調(diào)遞增;
④當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)y=f(x)有極小值;
⑤當(dāng)x=-時(shí),函數(shù)y=f(x)有極大值.
則上述判斷中正確的是________.
答案:③
5.如圖所示,曲線段OMB是函數(shù)f(x)=x2(0<x<6)的圖象,BA⊥x軸于A,曲線段OMB上一點(diǎn)M(t,f(t))處的切線PQ交x軸于P,交線段AB于Q,
(1)試用t表示切線PQ的方程;
(2)試用t表示△QAP的面積g(t),若函數(shù)g(t)在[m,n]上單調(diào)遞減,試求出m的最小值.
解:(1)(x)=2x,
∴k=2t,切線PQ的方程為
y-t2=2t(x-t),即2tx-y-t2=0.
(2)由(1)可求得P(,0),Q(6,12t-t2),
∴g(t)=S△QAP=(6-t)(12t-t2)=t3-6t2+36t(0<t<6),g′(t)=t2-12t+36.令g′(t)<0,得4<t<12.
考慮到0<t<6,∴4<t<6,即g(t)的單調(diào)減區(qū)間為(4,6).
∴m的最小值為4.
6.直線y=a與函數(shù)f(x)=x3-3x的圖象有三個(gè)互不相同的公共點(diǎn),求a的取值范圍.
解:先求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間,由(x)=3x2-3=0,得x=±1.當(dāng)x<-1或x>1時(shí),(x)>0;當(dāng)-1<x<1時(shí),(x)<0.
∴在(-∞,-1)和(1,+∞)上,f(x)=x3-3x是增函數(shù);
在(-1,1)上,f(x)=x3-3x是減函數(shù),由此可以作出f(x)=x3-3x的草圖(如圖).
由圖可知,當(dāng)且僅當(dāng)-2<a<2時(shí),直線y=a與函數(shù)f(x)=x3-3x的圖象有三個(gè)互不相同的公共點(diǎn).
培養(yǎng)能力
7.已知函數(shù)f(x)=4x3+ax2+bx+5的圖象在x=1處的切線方程為y=-12x.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)求函數(shù)f(x)在[-3,1]上的最值.
解:(1)(x)=12x2+2ax+b,(1)=12+2a+b=-12. ①
又x=1,y=-12在f(x)的圖象上,
∴4+a+b+5=-12. ②
由①②得a=-3,b=-18,
∴f(x)=4x3-3x2-18x+5.
(2)(x)=12x2-6x-18=0,得x=-1, ,f(-1)=16,f()=-,f(-3)=-76,f(1)=-13.
∴f(x)的最大值為16,最小值為-76.
8.已知實(shí)數(shù)a>0,函數(shù)f(x)=ax(x-2)2(x∈R)有極大值32.
(1)求實(shí)數(shù)a的值;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
解:(1)∵f(x)=ax(x-2)2=ax3-4ax2+4ax,
∴(x)=3ax2-8ax+4a.
由(x)=0,得3ax2-8ax+4a=0.
∵a≠0,∴3x2-8x+4=0.
解得x=2或x=.
∵a>0,∴x<或x>2時(shí),(x)>0;
<x<2時(shí),(x)<0.
∴當(dāng)x=時(shí),f(x)有極大值32,即
a-a+a=32,∴a=27.
(2)f(x)在(-∞,)和(2,+∞)上是增函數(shù),在(,2)上是減函數(shù).
9.已知f(x)=ax5-bx3+c(a>0)在x=±1處有極值,且極大值為4,極小值為0,試確定a、b、c的值.
解:已知f(x)=ax5-bx3+c,
所以(x)=5ax4-3bx2=x2(5ax2-3b).
根據(jù)題意(x)=0應(yīng)有根x=±1,
故5a=3b.
所以(x)=5ax2(x2-1).
因a>0時(shí),列表:
x |
(-∞,-1) |
-1 |
(-1,1) |
1 |
(1,+∞) |
(x) |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
f(x) |
|
極大值 |
|
極小值 |
|
|
①+②得c=2,
①-②得b=a+2.
又5a=3b,所以a=3,b=5,c=2.
探究創(chuàng)新
10.有點(diǎn)難度喲!
用總長14.8 m的鋼條作一個(gè)長方體容器的框架,如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長0.5 m,那么高為多少時(shí)容器的容積最大?并求出它的最大容積.
解:設(shè)容器底面短邊長為x m,則另一邊長為(x+0.5) m,高為
=3.2-2x(m).
由3.2-2x>0和x>0得0<x<1.6.
設(shè)容器的容積為y m3,
則有y=x(x+0.5)(3.2-2x)(0<x<1.6),
整理,得y=-2x3+2.2x2+1.6x.
∴y′=-6x2+4.4x+1.6.
令y′=0,有-6x2+4.4x+1.6=0,即15x2-11x-4=0.
解得x1=1或x2=-(不合題意,舍去).
從而在定義域(0,1.6)內(nèi)只有在x=1處使得y′=0.
因此,當(dāng)x=1時(shí),y取得最大值且ymax=-2+2.2+1.6=1.8,這時(shí),高為3.2-2×1=1.2.
●思悟小結(jié)
1.(x0)=0是x0為可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)的必要不充分條件,如函數(shù)y=x3在x=0處.
2.函數(shù)f(x)在極值點(diǎn)不一定可導(dǎo),如函數(shù)y=|x|在x=0處.
3.注意極值與最值的關(guān)系,理解若只有一個(gè)極值則必為最值.
4.體會(huì)數(shù)形結(jié)合、函數(shù)、方程思想在本章的運(yùn)用.
●教師下載中心
教學(xué)點(diǎn)睛
1.導(dǎo)數(shù)的基本應(yīng)用如下表:
2.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題,關(guān)鍵是要建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型(函數(shù)關(guān)系),如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)使(x)=0,此時(shí)函數(shù)在這點(diǎn)有極大(小)值,那么不與端點(diǎn)比較,也可以知道這就是最大(小)值.
拓展題例
[例1] 函數(shù)y=2x3+3x2-12x+14在[-3,4]上的最大值為________,最小值為________.
解析:y′=6x2+6x-12=0.
x=1,-2,f(-3)=20,f(-2)=34,f(1)=7,f(4)=142.
答案:142 7
[例2] 設(shè)x=-2與x=4是函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx的兩個(gè)極值點(diǎn).
(1)求常數(shù)a、b;
(2)判斷x=-2,x=4是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn),并說明理由.
解:(1)(x)=3x2+2ax+b.
由極值點(diǎn)的必要條件可知x=-2和x=4是方程(x)=0的兩根,則a=-3,b=-24.
(2)(x)=3(x+2)(x-4),得
當(dāng)x<-2時(shí),(x)>0;
當(dāng)-2<x<4時(shí),(x)<0.
∴x=-2是f(x)的極大值點(diǎn).
當(dāng)x>4時(shí),(x)>0,則x=4是f(x)的極小值點(diǎn).
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