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4.“”是“
”的( )
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
參考答案
一、選擇題:本大題考查基本概念和基本運算,每小題5分,滿分60分.
1.C 2.C 3.D 4.A 5.A 6.B
7.D 8.B 9.D 10.B 11.B 12.C
二、填空題:本大題考查基礎(chǔ)知識和基本運算.每小題4分,滿分16分.
13. 14.
15.
16.答案不唯一,如“圖形的全等”、“圖形的相似”、“非零向量的共線”、“命題的充要條件”等等.
三、解答題:本大題共6小題,共74分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.
17.本小題主要考查兩角和差公式,用同角三角函數(shù)關(guān)系等解斜三角形的基本知識以及推理和運算能力.滿分12分.
解:(Ⅰ),
.
又,
.
(Ⅱ)由且
,
得.
,
.
18.本小題主要考查概率的基礎(chǔ)知識,運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力,以及推理與運算能力.滿分12分.
解:記“甲第次試跳成功”為事件
,“乙第
次試跳成功”為事件
,依題意得
,
,且
,
(
)相互獨立.
(Ⅰ)“甲第三次試跳才成功”為事件,且三次試跳相互獨立,
.
答:甲第三次試跳才成功的概率為.
(Ⅱ)“甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功”為事件.
解法一:,且
,
,
彼此互斥,
.
解法二:.
答:甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率為.
(Ⅲ)設(shè)“甲在兩次試跳中成功次”為事件
,
“乙在兩次試跳中成功次”為事件
,
事件“甲、乙各試跳兩次,甲比乙的成功次數(shù)恰好多一次”可表示為
,且
,
為互斥事件,
所求的概率為
答:甲、乙每人試跳兩次,甲比乙的成功次數(shù)恰好多一次的概率為.
19.本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系,二面角的大小等知識,考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力.滿分12分.
解法一:(Ⅰ)取中點
,連結(jié)
.
為正三角形,
.
正三棱柱
中,平面
平面
,
平面
.
連結(jié)
,在正方形
中,
分別為
的中點,
,
.
在正方形中,
,
平面
.
(Ⅱ)設(shè)與
交于點
,在平面
中,
作于
,連結(jié)
,由(Ⅰ)得
平面
.
,
為二面角
的平面角.
在中,由等面積法可求得
,
又,
.
所以二面角的大小為
.
解法二:(Ⅰ)取中點
,連結(jié)
.
為正三角形,
.
在正三棱柱
中,
平面平面
,
平面
.
取中點
,以
為原點,
,
,
的方向為
軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,則
,
,
,
,
,
,
,
.
,
,
,
.
平面
.
(Ⅱ)設(shè)平面的法向量為
.
,
.
,
,
令得
為平面
的一個法向量.
由(Ⅰ)知平面
,
為平面
的法向量.
,
.
二面角
的大小為
.
20.本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值以及函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,考查運用數(shù)學(xué)知識分析問題解決問題的能力.滿分12分.
解:(Ⅰ),
當(dāng)
時,
取最小值
,
即.
(Ⅱ)令,
由得
,
(不合題意,舍去).
當(dāng)變化時
,
的變化情況如下表:
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
遞增 |
極大值![]() |
遞減 |
在
內(nèi)有最大值
.
在
內(nèi)恒成立等價于
在
內(nèi)恒成立,
即等價于,
所以的取值范圍為
.
21.本小題考查數(shù)列的基本知識,考查等比數(shù)列的概念、通項公式及數(shù)列的求和,考查分類討論及化歸的數(shù)學(xué)思想方法,以及推理和運算能力.滿分12分.
解:(Ⅰ),
,
.
又,
數(shù)列
是首項為
,公比為
的等比數(shù)列,
.
當(dāng)時,
,
(Ⅱ),
當(dāng)時,
;
當(dāng)時,
,…………①
,………………………②
得:
.
.
又也滿足上式,
.
22.本小題主要考查直線、拋物線、向量等基礎(chǔ)知識,考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法,考查運算能力和綜合解題能力.滿分14分.
解法一:(Ⅰ)設(shè)點,則
,由
得:
,化簡得
.
(Ⅱ)(1)設(shè)直線的方程為:
.
設(shè),
,又
,
聯(lián)立方程組
,消去
得:
,
,
由,
得:
,
,整理得:
,
,
.
解法二:(Ⅰ)由得:
,
,
,
.
所以點的軌跡
是拋物線,由題意,軌跡
的方程為:
.
(Ⅱ)(1)由已知,
,得
.
則:.…………①
過點分別作準(zhǔn)線
的垂線,垂足分別為
,
,
則有:.…………②
由①②得:,即
.
(Ⅱ)(2)解:由解法一,
.
當(dāng)且僅當(dāng),即
時等號成立,所以
最小值為
.