1．已知全集
，且
，
，則
等于( )
A．
B．
C．
D．
2．等比數(shù)列
中，
，則
等于( )
A．
B．
C．
D．
3．
等于( )
A．
B．
C．
D．
4．“
”是“
”的( )
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
5．函數(shù)
的圖象( )
A．關(guān)于點(diǎn)
對稱 B．關(guān)于直線
對稱
C．關(guān)于點(diǎn)
對稱 D．關(guān)于直線
對稱
6．如圖，在正方體
中，
分別為
，
，
，
的中點(diǎn)，則異面直線
與
所成的角等于( )
A．
B．
C．
D．
7．已知
為
上的減函數(shù)，則滿足
的實(shí)數(shù)
的取值范圍是( )
A．
B．
C．
D．
8．對于向量
，
，
和實(shí)數(shù)
，下列命題中真命題是( )
A．若
，則
或
B．若
，則
或
C．若
，則
或
D．若
，則
9．已知
為兩條不同的直線，
為兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是( )
A．
，
，
，
B．
，，
C．
，
D．
，
10．以雙曲線
的右焦點(diǎn)為圓心，且與其右準(zhǔn)線相切的圓的方程是( )
A．
B．
C．
D．
11．已知對任意實(shí)數(shù)，有
，
，且
時(shí)，
，
，則
時(shí)( )
A．， B．，
C．
， D．，
12．某通訊公司推出一組手機(jī)卡號碼，卡號的前七位數(shù)字固定，從“
”到“
”共
個(gè)號碼．公司規(guī)定：凡卡號的后四位帶有數(shù)字“”或“
”的一律作為“優(yōu)惠卡”，則這組號碼中“優(yōu)惠卡”的個(gè)數(shù)為( )
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
13．
的展開式中常數(shù)項(xiàng)是_____．(用數(shù)字作答)
14．已知實(shí)數(shù)
滿足
則
的取值范圍是________．
15．已知長方形
，
，
，則以
為焦點(diǎn)，且過
兩點(diǎn)的橢圓的離心率為______．
16．中學(xué)數(shù)學(xué)中存在許多關(guān)系，比如“相等關(guān)系”、“平行關(guān)系”等等．如果集合
中元素之間的一個(gè)關(guān)系“-”滿足以下三個(gè)條件：
(1)自反性：對于任意
，都有
-；
(2)對稱性：對于
，若-
，則有-；
(3)傳遞性：對于
，若-，-
，則有-．
則稱“-”是集合的一個(gè)等價(jià)關(guān)系．例如：“數(shù)的相等”是等價(jià)關(guān)系，而“直線的平行”不是等價(jià)關(guān)系(自反性不成立)．請你再列出兩個(gè)等價(jià)關(guān)系：______．
17．(本小題滿分12分)
在
中，
，
．
(Ⅰ)求角
的大??；
(Ⅱ)若邊的長為
，求
邊的長．
18．(本小題滿分12分)
甲、乙兩名跳高運(yùn)動(dòng)員一次試跳
米高度成功的概率分別是
，
，且每次試跳成功與否相互之間沒有影響，求：
(Ⅰ)甲試跳三次，第三次才成功的概率；
(Ⅱ)甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率；
(Ⅲ)甲、乙各試跳兩次，甲比乙的成功次數(shù)恰好多一次的概率．
19．
(本小題滿分12分)
如圖，正三棱柱
的所有棱長都為，
為
中點(diǎn)．
(Ⅰ)求證：
平面
；
(Ⅱ)求二面角
的大小．
20．(本小題滿分12分)
設(shè)函數(shù)
．
(Ⅰ)求的最小值
；
(Ⅱ)若
對
恒成立，求實(shí)數(shù)
的取值范圍．
21．(本小題滿分12分)
數(shù)列的前
項(xiàng)和為
，
，
．
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)
；
(Ⅱ)求數(shù)列
的前項(xiàng)和
．
22．(本小題滿分14分)
如圖，已知
，直線
，
為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作
的垂線，垂足為點(diǎn)
，且
．
(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
(Ⅱ)過點(diǎn)
的直線交軌跡于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)
．
(1)已知
，
，求
的值；
(2)求
的最小值．
高中數(shù)學(xué)畢業(yè)招生全國統(tǒng)一考試 第Ⅰ卷(選擇題 共60分)參考答案
參考答案
一、選擇題：本大題考查基本概念和基本運(yùn)算，每小題5分，滿分60分．
1．C 2．C 3．D 4．A 5．A 6．B
7．D 8．B 9．D 10．B 11．B 12．C
二、填空題：本大題考查基礎(chǔ)知識和基本運(yùn)算．每小題4分，滿分16分．
13．
14．
15．
16．答案不唯一，如“圖形的全等”、“圖形的相似”、“非零向量的共線”、“命題的充要條件”等等．
三、解答題：本大題共6小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17．本小題主要考查兩角和差公式，用同角三角函數(shù)關(guān)系等解斜三角形的基本知識以及推理和運(yùn)算能力．滿分12分．
解：(Ⅰ)
，
．
又
，
．
(Ⅱ)由
且
，
得
．
，
．
18．本小題主要考查概率的基礎(chǔ)知識，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力，以及推理與運(yùn)算能力．滿分12分．
解：記“甲第
次試跳成功”為事件
，“乙第次試跳成功”為事件
，依題意得
，
，且，(
)相互獨(dú)立．
(Ⅰ)“甲第三次試跳才成功”為事件
，且三次試跳相互獨(dú)立，
．
答：甲第三次試跳才成功的概率為
．
(Ⅱ)“甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功”為事件．
解法一：
，且
，
，
彼此互斥，
．
解法二：
．
答：甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率為
．
(Ⅲ)設(shè)“甲在兩次試跳中成功次”為事件
，
“乙在兩次試跳中成功次”為事件
，
事件“甲、乙各試跳兩次，甲比乙的成功次數(shù)恰好多一次”可表示為
，且
，
為互斥事件，
所求的概率為
答：甲、乙每人試跳兩次，甲比乙的成功次數(shù)恰好多一次的概率為
．
19．本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，二面角的大小等知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力．滿分12分．
解法一：(Ⅰ)取中點(diǎn)
，連結(jié)
．
為正三角形，
．
正三棱柱中，平面
平面
，
平面．
連結(jié)
，在正方形
中，
分別為
的中點(diǎn)，
，
．
在正方形
中，
，
平面．
(Ⅱ)設(shè)
與
交于點(diǎn)
，在平面中，
作
于，連結(jié)
，由(Ⅰ)得平面．
，
為二面角的平面角．
在
中，由等面積法可求得
，
又
，
．
所以二面角的大小為
．
解法二：(Ⅰ)取中點(diǎn)，連結(jié)．
為正三角形，．
在正三棱柱中，
平面平面，
平面．
取中點(diǎn)
，以為原點(diǎn)，
，
，
的方向?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383970_1/image230.gif">軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則
，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
．
平面．
(Ⅱ)設(shè)平面
的法向量為
．
，
．
，
，
令
得
為平面的一個(gè)法向量．
由(Ⅰ)知平面，
為平面的法向量．
，
．
二面角的大小為
．
20．本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值以及函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題解決問題的能力．滿分12分．
解：(Ⅰ)
，
當(dāng)
時(shí)，取最小值
，
即
．
(Ⅱ)令
，
由
得
，
(不合題意，舍去)．
當(dāng)
變化時(shí)
，
的變化情況如下表：
|
|
 |
|
 |
|
|
 |
|
 |
|
|
遞增 |
極大值 |
遞減 |
在
內(nèi)有最大值
．
在內(nèi)恒成立等價(jià)于
在內(nèi)恒成立，
即等價(jià)于
，
所以的取值范圍為
．
21．本小題考查數(shù)列的基本知識，考查等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式及數(shù)列的求和，考查分類討論及化歸的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理和運(yùn)算能力．滿分12分．
解：(Ⅰ)
，
，
．
又
，
數(shù)列
是首項(xiàng)為，公比為
的等比數(shù)列，
．
當(dāng)
時(shí)，
，
(Ⅱ)
，
當(dāng)
時(shí)，
；
當(dāng)時(shí)，
，…………①
，………………………②
得：
．
．
又
也滿足上式，
．
22．本小題主要考查直線、拋物線、向量等基礎(chǔ)知識，考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力．滿分14分．
解法一：(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)
，則
，由得：
，化簡得
．
(Ⅱ)(1)設(shè)直線的方程為：
．
設(shè)
，
，又
，
聯(lián)立方程組
，消去得：
，
，
由，得：
，
，整理得：
，
，
．
解法二：(Ⅰ)由得：
，
，
，
．
所以點(diǎn)的軌跡是拋物線，由題意，軌跡的方程為：
．
(Ⅱ)(1)由已知，，得
．
則：
．…………①
過點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為
，
，
則有：
．…………②
由①②得：
，即
．
(Ⅱ)(2)解：由解法一，
．
當(dāng)且僅當(dāng)
，即
時(shí)等號成立，所以最小值為．