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11.已知對任意實數(shù),有,,且時,,,則時( )
A., B.,
C., D.,
參考答案
一、選擇題:本大題考查基本概念和基本運算,每小題5分,滿分60分.
1.C 2.C 3.D 4.A 5.A 6.B
7.D 8.B 9.D 10.B 11.B 12.C
二、填空題:本大題考查基礎(chǔ)知識和基本運算.每小題4分,滿分16分.
13. 14. 15.
16.答案不唯一,如“圖形的全等”、“圖形的相似”、“非零向量的共線”、“命題的充要條件”等等.
三、解答題:本大題共6小題,共74分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.
17.本小題主要考查兩角和差公式,用同角三角函數(shù)關(guān)系等解斜三角形的基本知識以及推理和運算能力.滿分12分.
解:(Ⅰ),
.
又,.
(Ⅱ)由且,
得.,.
18.本小題主要考查概率的基礎(chǔ)知識,運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力,以及推理與運算能力.滿分12分.
解:記“甲第次試跳成功”為事件,“乙第次試跳成功”為事件,依題意得,,且,()相互獨立.
(Ⅰ)“甲第三次試跳才成功”為事件,且三次試跳相互獨立,
.
答:甲第三次試跳才成功的概率為.
(Ⅱ)“甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功”為事件.
解法一:,且,,彼此互斥,
.
解法二:.
答:甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率為.
(Ⅲ)設(shè)“甲在兩次試跳中成功次”為事件,
“乙在兩次試跳中成功次”為事件,
事件“甲、乙各試跳兩次,甲比乙的成功次數(shù)恰好多一次”可表示為,且,為互斥事件,
所求的概率為
答:甲、乙每人試跳兩次,甲比乙的成功次數(shù)恰好多一次的概率為.
19.本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系,二面角的大小等知識,考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力.滿分12分.
解法一:(Ⅰ)取中點,連結(jié).
為正三角形,.
正三棱柱中,平面平面,平面.
連結(jié),在正方形中,分別為
的中點,
,
.
在正方形中,,
平面.
(Ⅱ)設(shè)與交于點,在平面中,
作于,連結(jié),由(Ⅰ)得平面.
,
為二面角的平面角.
在中,由等面積法可求得,
又,
.
所以二面角的大小為.
解法二:(Ⅰ)取中點,連結(jié).
為正三角形,.
在正三棱柱中,
平面平面,
平面.
取中點,以為原點,,,的方向為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,
,,.
,,
,.
平面.
(Ⅱ)設(shè)平面的法向量為.
,.
,,
令得為平面的一個法向量.
由(Ⅰ)知平面,
為平面的法向量.
,.
二面角的大小為.
20.本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值以及函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,考查運用數(shù)學(xué)知識分析問題解決問題的能力.滿分12分.
解:(Ⅰ),
當(dāng)時,取最小值,
即.
(Ⅱ)令,
由得,(不合題意,舍去).
當(dāng)變化時,的變化情況如下表:
|
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|
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|
|
|
遞增 |
極大值 |
遞減 |
在內(nèi)有最大值.
在內(nèi)恒成立等價于在內(nèi)恒成立,
即等價于,
所以的取值范圍為.
21.本小題考查數(shù)列的基本知識,考查等比數(shù)列的概念、通項公式及數(shù)列的求和,考查分類討論及化歸的數(shù)學(xué)思想方法,以及推理和運算能力.滿分12分.
解:(Ⅰ),
,
.
又,
數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列,.
當(dāng)時,,
(Ⅱ),
當(dāng)時,;
當(dāng)時,,…………①
,………………………②
得:
.
.
又也滿足上式,
.
22.本小題主要考查直線、拋物線、向量等基礎(chǔ)知識,考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法,考查運算能力和綜合解題能力.滿分14分.
解法一:(Ⅰ)設(shè)點,則,由得:
,化簡得.
(Ⅱ)(1)設(shè)直線的方程為:
.
設(shè),,又,
聯(lián)立方程組,消去得:,,
由,得:
,,整理得:
,,
.
解法二:(Ⅰ)由得:,
,
,
.
所以點的軌跡是拋物線,由題意,軌跡的方程為:.
(Ⅱ)(1)由已知,,得.
則:.…………①
過點分別作準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為,,
則有:.…………②
由①②得:,即.
(Ⅱ)(2)解:由解法一,
.
當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,所以最小值為.