27.(全國Ⅰ•理•19題)四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,側(cè)面SBC⊥底面ABCD。已知∠ABC=45°,AB=2,BC=2,SA=SB=。
(Ⅰ)證明:SA⊥BC;
(Ⅱ)求直線SD與平面SAB所成角的大?。?
解答:解法一:
(Ⅰ)作,垂足為,連結(jié),由側(cè)面底面,得底面.
因為,所以,
又,故為等腰直角三角形,,
由三垂線定理,得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,依題設(shè),
故,由,,,得
,.
的面積.
連結(jié),得的面積
設(shè)到平面的距離為,由于,得
,
解得.
設(shè)與平面所成角為,則.
所以,直線與平面所成的我為.
解法二:
(Ⅰ)作,垂足為,連結(jié),由側(cè)面底面,得平面.
因為,所以.
又,為等腰直角三角形,.
如圖,以為坐標原點,為軸正向,建立直角坐標系,
,,,,,
,,所以.
(Ⅱ)取中點,,
連結(jié),取中點,連結(jié),.
,,.
,,與平面內(nèi)兩條相交直線,垂直.
所以平面,與的夾角記為,與平面所成的角記為,則與互余.
,.
,,
所以,直線與平面所成的角為.